Сумма конечного числа б. м. (б. б.) слагаемых разного порядка малости (роста) эквивалентна слагаемому самого низкого (высокого) порядка малости (роста)

4. Если б. м. ф. α (x) ~ α ₁(x) при x → a, A =const ≠ 0, то A + α (x) ~ A + α ₁(x) при x → a.

Например. .

Чтобы вычислить предел ,

можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством .

Например. .

Если же ,

то есть в случае неопределенность вида ,

можно применить следующую последовательность тождественных преобразований:

.

Например.

.

3.2. Непрерывность функции одного аргумента

Определение непрерывной на интервале (а, b) функции

Функция называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение предела справа для функции f (x):

Число A называется пределом справа для функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , следует выполнение неравенства .

Точки х берутся справа от точки х = а.

Правосторонний предел обозначают также .

Определение предела слева для функции f (x):

Число A называется пределом слева функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству: , следует выполнение неравенства: .

Точки х берутся слева от точки х = а.

Левосторонний предел обозначают также .

Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предела А функции f (x) в точке х = а

Предел А функции f (x ) в точке х = а существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы этой функции в точке х = а и эти односторонние пределы равны между собой: , или

Определение непрерывной на отрезке функции

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале (a, b) и в точке х = а – справа (), а в точке х = b – слева ().

Определение точек разрыва функции

Точки, в которых нарушается хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называются точками разрыва графика функции, или просто точками разрыва.

Определение точек устранимого разрыва функции

Односторонние пределы функции в исследуемой точке конечны и равны между собой. В самой точке функция не определена или не задана.

Определение точек разрыва первого рода функции

Односторонние пределы функции в исследуемой точке конечны, но не равны между собой.

Определение точек разрыва второго рода функции

Хотя бы один из односторонних пределов функции в исследуемой точке равен бесконечности или не существует.

Элементарные функции терпят разрыв в точках, не принадлежащих области их определения.

Функция кусочно-аналитическая (состоит из «кусочков» аналитических, то есть элементарных, функций), не является элементарной. Такая функция может иметь разрыв в точках, где эта функция не определена, а также в точках, где происходит переход от одного аналитического задания функции к другому (от одной формулы к другой) – это точки, «подозрительные» на разрыв. В точке, «подозрительной» на разрыв, функция может оказаться непрерывной, если в этой точке выполняются все три условия непрерывности функции:

1. Функция определена в точке;

2. Существует конечный предел функции в этой точке;

3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Для исследования элементарной функции на непрерывность можно применить такой план:

1. Найти точки, которые не принадлежат области определения данной функции.

2. Вычислить односторонние пределы функции в этих точках.

3. Сделать вывод о характере разрыва функции в исследуемых точках.

Для исследования кусочно-аналитической функции на непрерывность можно предложить такой план:

1. Найти точки, в которых данная функция не определена – точки разрыва графика функции.

2. Указать точки, в которых происходит переход от одной формулы задания функции к другой формуле, - точки, «подозрительные» на разрыв.

3. Вычислить односторонние пределы функции во всех этих точках (найденных по предыдущим двум пунктам плана).

4. Сделать вывод о характере разрыва или о непрерывности функции в исследуемых точках.