Система аксиом Гильберта

Излагаемая ниже система аксиом несколько отличается от предложенной Гильбертом, но так уже принято в учебной литературе. Пусть даны три различных множества. Элементы первого назовем точками и будем обозначать A, В, С,…Элементы второго назовем прямыми и будем обозначать а, в, с,…Элементы третьего множества назовем плоскостями и обозначим a,b,g,…Элементы этих множеств находится в определенных отношениях, т.е. элементам одного из этих множеств поставлены в соответствие элементы других множеств. Эти отношения называют (по-привычке) “принадлежность”,”лежать на”,“проходитьчерез”,“лежать между”, ”конгружность”, “равенство”. Эти отношения должны удовлетворить определенным аксиомам. В данном случае аксиомам Гильберта. Список Гильберта содержит 20 аксиом, котрые разбиты на 5 групп:

I. (8 штук) Аксиомы инцидентности (принадлежности, связи).

II. (4 штуки) Аксиомы порядка

III. (5 штук) Аксиомы конгруэнтности

IV. (2) Аксиомы непрерывности

V. (1) Аксиома параллельности

Геометрию построенную на аксиомах I-IV групп, называют абсолютной

геометрией.

ГРУППА I Аксиомы принадлежности (связи)

I₁ Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, проходящая через эти точки. (им инцидентная)

I₂ Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I₃ На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки не лежащие на одной прямой.

I₄ Каковы бы ни были три точки А,В,С, не лежащих на одной прямой существует