Начала” Евклида

К концу III века до нашей эры греки накопили большой запас геометрических фактов, и многие из них умели доказывать, интуитивно пользуясь какими-то известными из жизни первоначальными понятиями. Конечно, же, были попытки собрать эти факты воедино. Изложение начал геометрии предпринималось многими геометрами (Гиппократ, Фидий), но эти сочинения до нас не дошли. Но иногда ссылки встречаются. По- видимому, они были забыты после появления знаменитых “ Начал ” Евклида.

Евклид один из великих геометров древности, жил приблизительно 330-275 года до нашей эры в Египте, Александрии. Его “Начала” дают систематическое изложение основ геометрии. Многие века геометрия преподавалась именно по этому сочинению.

“Начала” состоит из 13 книг (глав). Первые 6 книг содержат изложение планиметрии: I- содержит условия равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольников, теорию параллельных линий и условия равновеликости треугольников и многоугольников. Во II - в геометрической форме даны основные геометрические тождества, в частности дается превращение многоугольника в равновеликий квадрат. III-посвящена окружности; IV- рассматривает вписанные и описанные многоугольники. V-теория отношений.VI-теория подобия. XI-XIII-посвящены основам стереометрии, XIII-правильным многогранникам.

Многое из того, что было известно геометрам во времена Евклида в «Начала» не вошло (например, линии второго порядка). Каждая книга начинается с определения тех понятий, которыми ему приходится оперировать. Первой книге предпосланы 23 определения. Мы приведем первые восемь из них:

ОПРЕДЕЛЕ

О I точка есть то, что не имеет частей

О II линия есть длина без ширины

О III границы линий суть точки

О IV прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

О V поверхность есть то, что имеет только длину и ширин

О VI границы поверхности суть линий.

О VII плоскость есть поверхность, которая одинаково расположено по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

О VIII плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

ПОСТУЛАТЫ.

I. Требуется, чтобы от каждой точки по всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

АКСИОМЫ:

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V. И если удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся равны.

VIII. И целое больше части.

IX. И две прямые не могут заключать пространства.

А затем Евклид излагает теоремы геометрии. Так, чтобы каждое следущее предложение можно было бы логическим путем вывести из предыдущего

Задача обоснования геометрии ясно поставлена Евклидом в его “Началах” и решена им с той степенью точности, какая была доступна античной древности. Более того, на протяжении многих веков, строгость евклидовых доказательств неизменно признавалось образцом для подражания.

Но с точки зрения современной математики приходится согласиться с тем, что оно во многих отношениях неудовлетворительно.

Расcмотрим несколько замечаний. Во-первых, не ясны определения, например - прямой. В них использованы понятия: длина, ширина, границы, которые сами должны быть определены. Нет понятия “лежать между”, не определено движение, хотя в аксиоме VII используется.

Нам интересна такая теорема: внешний угол треугольника больше каждого из внутренних с ним несмежных.

В

В А¢

Оо

А С С¢

Ч.т.д.

То, что СА¢ лежит внутри угла ВСС¢ опирается на наглядность чертежа. Так же необоснованным является понятие равенства треугольников, т.к. не определено движение.

Некоторые недостатки были замечены еще Архимедом и, чтобы обосновать метрическую геометрию как теорию измерения, он ввел еще пять постулатов:

V. Из двух неравных линий, двух неравных поверхностей или двух неравных тел, большая окажется меньше той величины, котрую мы получим, если повторим меньшую надлежащее число раз. Или, в современнои аксиомой Архимеда:"а,в,а<в,$ целое n: na>в этот постулат лежит в основе измерения геометрических величин.

А IV постулат Евклида является лишним, т.к. может быть доказан как теорема.

Конечно, многие ученые на протяжении веков ощущали недостатки Евклида «в связи» с развитием физики и вообще науки. Но очень немногие пытались пополнить его систему аксиом. Подлинное развитие вопроса об основаниях геометрии пошло не по прямому пути логического уточнения аксиоматики, а осуществлялось причудливым образом через длинный ряд попыток исправить Евклида там, где он был абсолютно прав. Речь идет об истории V постулата. Его история не просто поучительна. А именно, осознав его независимость от остальных аксиом, человечество пришло к выводу о существовании разных аксиоматических теорий.