Формула Бернулли и Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р.

Теорема бернулли. Если вероятность р появления события А постоянно, то вер-ть Pm,n того что соб-е А произойдет m раз в n независимых испытаниях бернулли равна -формула бернулли где g=1-p

Число m0 наступления соб-я А в n независимых испытаниях н-ся наивероятнейшими, если вер-ть осуществления этого события Рm0,n по крайней мере не меньше вероятностей других событиц P m,n при любом m это число нах-ся n×p-g≤m0≤n×p+p

Вычисления при больших испытаниях n сопряжено с трудностями вычислений поэтому имеется др формула-формула Пуассона.

Теорема Пуассона: если вер-ть р наступления соб-я А в каждом испытании стремится к 0(р→0)при неограниченном увеличении числа испытаний (n→∞)при чем произведение n×p стремится к постоянному числу λ(n×p→ λ) то вероятность Pm,n того что соб-е A появляется n раз в независимых испытаниях = где

Причем будем полагать что λ= n×p≤10

10)локальная и интегральная теоремы муавра-лапласса (дописать формулы).

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях постоянна и отлична от 0 и 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рm,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно равна

Pm,n= f(x) локальная формула

√npq

Где f(x)= _1___ e(в степени -х²/2)

√2π

x= m-np

√ npq

Интегральная теорема м-лапласса:

Если вер-ть p наступления соб-ия А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 то вер-ть того что число m наступления соб-ия А в n независимых испытаниях заключаено в пределах от а до b (включительно) при достаточно большом числе n приближенно равно

Pn (a≤m≤b) =½[Ф(х2)-Ф(х1)] где

х

F(x)= _____2_____∫ е (в степени –t ²/2)

√2π 0

x1= a-np x2= b-np

√npq √npq

Следствие интегральной теоремы муавра-лапласса: если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того что:

а)число m наступлений события Aотличается от произведения np не более чем на величну ε>0(по абсолютной вел-не), т.е

Pn(|m-np|≤ ε)приближенно =Ф(____ ε ____)

√npq

б)частность m события А заключена в преде

n

лах от α до β включительно т.е

Pn (α ≤ m ≤ β) =½[Ф(z2)-Ф(z1)]

n

где z1= α-p__ z2= b-p__

√pq/n √pq/n

в) частность события m события А

n

отличается от его вер-ти p более чем на вел-ну ∆>0(по абсолютной вел-не)т.е

Pn (| m -p|≤)приближенно= Ф (∆√n)

n √pq

12) способы задания закона распределения непрерывной случайной величины

Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Закон распределения непрерывной случайной величины задается так называемой функцией распределения, которая обозначается F(x) и определяется как

F(x)= P(X<x)

Функцию F(x) также называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения

интегральную функцию распределения можно построить как для непрерывных так и для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин, наряду с интегральным законом распределения широко используется дифференциальный закон распределения он определяется по формуле f(x)= dF(x)/dx