Аппроксимация функций, заданных таблично

Цель работы - приобретение навыков аппроксимации функций, которые заданы таблицей.

5.1 Основные сведения

Если функция задана таблицей, то задача аппроксимации состоит в определении достаточно простого вида функции (ее аналитического выражения), значение которой при мало отличались бы от табличных данных. Если табличная зависимость получена в результате экспериментов, то задача аппроксимации этой зависимости называется иначе подбором эмпирической функции. Геометрически задача аппроксимации состоит в проведении графика функции f(x) по возможности ближе к системе точек .

Построение эмпирической функции состоит из двух этапов:

- выбора общего вида этой функции;

- определение лучших ее параметров.

В данной работе в качестве набора простейших функций, из которых будем выбирать эмпирическую зависимость, рассмотрим

1) линейную ;

2) показательную ;

3) дробно-рациональную ;

4) логарифмическую ;

5) степенную ;

6) гиперболическую ;

7) дробно-рациональную вида .

Проверка соответствия вида эмпирической функции зависимости, заданной таблицей, осуществляется с помощью так называемого метода выравнивания, который состоит в следующем: предполагают, что между х и у существует зависимость обозначенного вида, находят некоторые величины и , которые при сделанном допущении связаны линейной зависимостью (то есть превращают систему координат х0у, в которой зависимость нелинейная, в систему координат , в которой эта зависимость становится линейной).

Коэффициенты а и b для эмпирических формул вида можно определить методом выбранных точек.

На кривой (или на прямой в методе выравнивания) выбирают две произвольные точки и и составляют систему уравнений:

Решают ее относительно а и b и подставляют последние в функцию . Полученное аналитическое выражение и представляет собой решение задачи аппроксимации функции, заданной таблицей.

5.2 Порядок выполнения работы

Для аппроксимации функции, которая задана таблицей (табл. 5.3), необходимо:

1. Изобразить функцию в виде графика .

2. На заданном отрезке изменения х нужно выбрать две точки, которые достаточно надежны и, по возможности, далеко расположены одна от другой, например, крайние точки с координатами .

3. Вычислить средние арифметические: , ;

средние геометрические: , ;

средние гармонические: , .

4. По вычисленным значениям х необходимо найти по графику значения :

5. Сравнить найденные по графику значения с вычисленными значениями и оценить следующие погрешности результата сравнения:

, , , , , , .

6. Найти из этих погрешностей минимальную:

и по ней выбрать вид эмпирической функции в соответствии с табл. 5.1.

7. Проверить правильность выбора эмпирической функции методом выравнивания. Сведение нелинейных зависимостей к линейным описывается в табл. 5.2. При этом необходимо для заданных точек (x, y) рассчитать координаты точек (q, z). Дальше нужно построить зависимость z = f(q) по рассчитанным точкам и убедиться, что она близкая к прямой линии. Если полученная зависимость существенно отличается от прямой необходимо проверять выбор эмпирической функции.

8. Определить коэффициенты а и b в эмпирической формуле методом выбранных точек. Для этого на кривой (или на прямой в методе выравнивания) выбирают две точки и и составляют систему уравнений:

решают ее относительно коэффициентов а и b.

9. Записать окончательный вид эмпирической функции и построить полученную эмпирическую зависимость графически.

10. Оценить погрешность в каждой точке исходной функции.

Таблица 5.1 – Зависимость вида функции от

Вид

Таблица 5.2 – Сведение нелинейных зависимостей к линейным

Нелинейная зависимость	Линейная зависимость	Связь между переменными в координатах q0z и x0y

5.3 Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Исходные данные для выполнения работы.

3. Расчеты необходимые для выбора вида эмпирической функции.

4. Проверка по методу выравнивания.

5. Расчеты коэффициентов эмпирической функции.

6. Окончательный вид эмпирической функции.

7. Графики исходной функции, заданной таблицей, и полученной эмпирической функции.

8. Оценка погрешности для каждой точки исходной функции.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется задача приближения функций? В чем состоят задачи интерполяции и аппроксимации функций?

2. Как практически выбрать вид эмпирической функции из набора простейших функций ()?

3. Как убедиться в том, что вид эмпирической формулы выбран верно?

4. Как практически уточнить коэффициенты а и b эмпирической функции?

5. Как определить ступни и коэффициенты алгебраического полинома при применении последнего в качестве эмпирической функции?

Таблица 5.3 – Исходные таблично заданные функции

Вариант	Функция		Вариант	Функция

Продолжение табл. 5.3

Вариант	Функция		Вариант	Функция

Продолжение табл. 5.3

Вариант	Функция		Вариант	Функция

Продолжение табл. 5.3

Вариант	Функция		Вариант	Функция

Лабораторная работа № 6