Цель работы - приобретение навыков решения систем нелинейных уравнений итерационными методами

4.1 Основные сведения

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений (СНР) общего вида. Для приближенного их решения используют итерационные методы. Наиболее распространенными из них являются метод итераций и метод Ньютона. Метод Ньютона имеет намного более быструю сходимость, чем метод итераций.

В основе метода Ньютона для СНР лежит использование разложения функции в ряд Тейлора и отбрасывание членов, которые содержат производные порядка выше первого, то есть из уравнений выделяют линейные части, которые являются главными при малых приращениях аргументов.

Для системы двух нелинейных уравнений

итерационные формулы метода Ньютона в компактной форме имеют вид:

, ,

где определители J, J₁, J₂ представляют собой:

,,.

4.2 Порядок выполнения работы

Заданную СНР (табл. 4.1) решить методом Ньютона с точностью 0,001. Перед этим записать уравнение системы в виде f(x, y)=0 и определить графически начальное (нулевое) приближение (координаты точки пересечения кривых f₁(x, y) i f₂(x, y) на плоскости (х, y)). Полученные в результате решения корни необходимо проверить.

4.3 Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Исходные данные для выполнения работы.

3. Определение начального приближения.

4. Расчеты корней по методу Ньютона.

5. Проверка полученных корней.

Таблица 4.1 – Исходные системы нелинейных уравнений

Вариант	СНР		Вариант	СНР

Продолжение табл. 4.1

Вариант	СНР		Вариант	СНР

Контрольные вопросы

1. В чем суть метода итераций для решения СНР?

2. Какое условие завершения итерационного процесса?

3. Как выполняется выбор начального приближения?

4. Какой существенный недостаток является характерным для метода итераций?

6. Что составляет основу метода Ньютона для решения СНР?

7. Как выглядят итерационные формулы метода Ньютона для системы из двух нелинейных уравнений?

Лабораторная работа № 5