Исследование функций. Интервалы монотонности функций. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Стационарные точки, критические точки. Достаточные условия экстремума

Общие исследование функции y = f ( x ).

· Область определения функции. Найти ее область определения D (f). Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E (f). (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E (f) откладывается до нахождения экстремумов функции.)

· Особые свойства функции. Выяснить общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность и т.п. Не любая функция обладает такими свойствами, как четность либо нечетность. Функция заведомо не является ни четной, ни нечетной, если ее область определения несимметрична относительно точки 0 на оси Ox. Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

· Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения D (f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

· Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D (f) вклоючает в себя лучи вида (a;+ ) или(− ; b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x + или x − соответственно, т.е. найти limx f (x). Наклонные асимптоты: y = kx + b, где k = limx + xf (x) и b = limx + (f (x)− x). Горизонтальны асимптоты: y = b, где limx f (x)= b.

· Нахождение точек пересечения графика с осями. Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f (x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корнейпомогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

· Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

· Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x) (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x). Для этого находят производную f (x) и решают неравенство f (x) 0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x) возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x) 0, функция f (x) убывает.

· Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости. Это делается с помощью исследования знака второй производной f (x). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f (x), мы решаем неравенство f (x) 0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f (x) 0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна) (Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

функция непрерывна в окрестности точки ;

или не существует;

производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

найти производную ;

найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;

исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

найти значение функции в экстремальных точках.