Методический пример

1. Задана передаточная функция САУ

.

Определить устойчивость одномерной системы.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

2. Определяем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

3. На комплексной плоскости определяем расположение полюсов и нулей для заданной передаточной функции, используя команду pzmap (w) рис. 4.

Рисунок 4. – Расположение полюсов и единиц для заданной передаточной

функции

Ввиду того, что корни знаменателя (полюса) находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости, делаем вывод, что исследуемая система является устойчивой.

2. Задана передаточная функция САУ

Определим устойчивость системы без помощи компьютера.

Для этого определим полюса и нули передаточной функции:

Полюса:

Нули:

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все корни её знаменателя (полюса) были отрицательными. В данном случае мы имеем 1 положительный и 1 отрицательный полюса. Следовательно, наша система неустойчива.

Теперь определим устойчивость системы с помощью MatLab.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

2. Определяем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

3. На комплексной плоскости определяем расположение полюсов и нулей для заданной передаточной функции, используя команду pzmap (w) рис. 5.

Рисунок 5. – Расположение полюсов и единиц для заданной передаточной функции

Ввиду того, что 1 из 2-х корней знаменателя (полюс) находится в правой полуплоскости комплексной плоскости, делаем вывод, что исследуемая система является неустойчивой.

4. Определим устойчивость системы с использованием критерия Рауса-Гурвица.

Пусть задана одномерная система следующей передаточной функцией

По передаточной функции системы составляем характеристический полином D(l) =a₀ lⁿ + a₁ l^n-1 + … + a_n-1 l + a_n

Для нашей системы a₀ =3, a₁ =2, a₂ =9, a₃ =1. Отсюда

D(l)= 3 l³ + 2 l² + 9 l + 1

Требование о положительности всех коэффициентов уравнения выполняется. Теперь, для установления устойчивости системы, необходимо проверить требование положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

, ,

Миноры систем определим с помощью MatLab.

То есть , , .

Таким образом, требование положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров также выполнилось. Следовательно, система является устойчивой.