Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчи­вости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Раусом и затем швей­царским математиком Гурвицем в конце прошлого века. При­ведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем характеристический полином, определяющий левую часть уравнения (1) системы, D(l) =a₀ lⁿ + a₁ l^n-1 + … + a_n-1 l + a_n (6)

где полагаем a₀>0, что всегда можно обеспечить умножением при необходимости полинома на –1. Составим из коэффициентов этого полинома определитель.

(7)

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет n строк и n столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числа n элементов пулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая - из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на эле­мент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.

В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме a₀.

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n.

Для n = 1 D(l) =a₀ l + a₁

и условия устойчивости сводятся к неравенствам: a₀ > 0; a₁ > 0.

Отсюда, например, звено первого порядка с передаточной функцией k/(Tp+1) - является устойчивым, а звено с передаточной функцией k/(Tp -1) - неустойчивым.

Для n =2 D(l) =a₀ l² + a₁ l + a₂

Условия устойчивости: a₀>0; a₁>0; a₂>0 (к последнему неравенству сводится неравенство D₂ >0, если учесть предыдущее неравенство a₁>0).

Например, звено с передаточной функцией k/(T₁²p²+ T₂p+ 1) устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.

Для n = 3 D(l) =a₀ l³+ a₁ l² + a₂l + a₃

Условия устойчивости: a₀ >0; a₁ >0; D₂= a₁a₂ - a₀a₃ > 0 D₃ =a₃D₂ >0.

Последнее неравенство с учетом предпоследнего условия D₂> 0 сводится к требованию a₃D₂ > 0. Таким образом, в целом эти условия устойчивости заключаются в положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора D₂. (Необходимость положительности a₂ вытекает из условия D₂ > 0 и положитель­ности всех остальных коэффициентов).

Для n = 4 D(l) =a₀ l⁴+ a₁ l³ + a₂l² + a₃l + a₄

Условия устойчивости: a₀ > 0; a₁ > 0; D₂= a₁a₂ - a₀a₃ > 0 D₃ =a₃D₂ - a₁²a₄ > 0

D₄ = a₄D₃ > 0.

Очевидно, что условия устойчивости сводятся к тре­бованию положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора D₃. (Условие D₂ > 0 при этом вытекает из неравенства D₃ > 0 с учетом того, что a₄ > 0.)

Для n = 5 D(l) =a₀ l⁵+ a₁ l⁴ + a₂l³ + a₃l² + a₄l + a₅

Условия устойчивости, если действовать аналогично, сведутся здесь к положительности всех коэффициентов и двух миноров: D ₂ и предпоследнего D₄ .

Доказано, что в общем случае для системы n- го порядка, для условия устойчивости входит требова­ние положительности всех коэффициен­тов уравнения. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого необходимого, но недостаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпа­дает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.

Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса-Гурвица, усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснять влияние на устойчивость системы значений отдельных параметров звеньев, вхо­дящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в не­сколько коэффициентов уравнения системы. Поэтому критерий Рауса-Гурвица применяют только для систем невысокого порядка, и, прежде всего для анализа устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при известных значениях всех ее параметров. При решении задачи синтеза системы, когда тре­буется выбрать значения отдельных параметров системы, критерий Рауса-Гурвица становится неудобным уже для систем выше четвертого порядка.

Рассмотрим в качестве примера систему третьего порядка, состоящую из трех статических звеньев первого порядка. Переда­точная функция этой системы имеет вид:

(8)

В этом случае

D(l)=R(l)+Q(l) = k₁k₂k₃ + (T₁l+1) (T₂l+1) (T₃l+1)

т.е. D(l)=a₀ l³+ a₁ l² + a₂l + a₃

Здесь a₀ = T₁ T₂ T₃; a₁ = T₁T₂+ T₂T₃+ T₃T₁;

a₂ = T₁+T₂+T₃; a₃ = k₁k₂k₃ +1 = k +1;

где k = k₁k₂k₃

Условие устойчивости, как показано выше, для n =3 сво­дится к следующим неравенствам:

(8а)

Первые три неравенства не представляют интереса, если мы ограничиваем рассмотрение положительными значениями постоян­ных времени.

Следующее, четвертое, неравенство налагает ограничение на отрицательное значение коэффициента передачи k. Абсолютное значение k при этом должно быть меньше единицы. Практически это неравенство тоже не имеет значения, показывая только, что система теряет устойчивость при неправильном замыкании обрат­ной связи, когда она будет положительной, а не отрицательной, то есть когда k < 1.

Реальные ограничения на значения параметров системы нала­гает последнее неравенство (8а). Его удобно переписать в таком виде:

k < (T₁+T₂+T₃)(1/T₁+1/T₂+1/T₃) - 1. (8б)

Это неравенство показывает, что устойчивость системы нарушится при неограниченном увеличении коэффициента передачи k при любых значениях постоянных времени. Предель­ное по устойчивости значение k определяется постоянными времени системы. Согласно (8б), это критическое значение

k_кр = (T₁+T₂+T₃)(1/T₁+1/T₂+1/T₃) - 1. (8в)