![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Решение xп(t) однородного дифференциального уравнения имеет вид:
(3)
Здесь Сi - постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением, li - корни характеристического уравнения
D(l) = 0, (4)
где полином D(l), называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (1) динамики системы после замены оператора дифференцирования p на комплексную переменную l.
Полином D(l) является знаменателем передаточной функции Wз(p) системы после освобождения в нем от дроби и замены р на l, т. е.
D(l)=R(l)+Q(l), (5)
где R(l) и Q(l) - числитель и знаменатель передаточной функции W(р) разомкнутой системы при замене р на l.
Таким образом, переходный процесс xп(t) представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом корней l характеристического уравнения (4), то есть порядком уравнения системы.
В общем случае корни l являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:
,
где a, может быть положительной или отрицательной величиной. Каждая такая пара корней дает в выражении (3) составляющую переходного процесса, равную
где C¢i и j i определяются через Сi, иCi +1.
Эта составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. При этом, если ai < 0, эта составляющая будет затухать. Наоборот, при aI > 0 получатся расходящиеся колебания. Если aI = 0, что соответствует паре мнимых корней, будут незатухающие синусоидальные колебания.
Условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность действительной части ai соответствующей пары сопряженных корней характеристического уравнения.
В частном случае, когда bI = 0, имеем действительный корень lI = ai. Соответствующая ему составляющая переходного процесса Ci elit представляет собой экспоненту, которая будет затухать или увеличиваться в зависимости от знака ai.
Таким образом, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплексных сопряжении корней, а каждая апериодическая - действительному корню. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, то есть всех полюсов (корней знаменателя) передаточной функции системы.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой. Наличие пары сопряженных чисто мнимых корней li,i+1=±jbi даст незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. При этом в системе установятся незатухающие колебания с частотой, равной bi. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью - система при этом находится на границе устойчивости. Такая система, очевидно, также неработоспособна, как и неустойчивая.
Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 2), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т. е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, все они должны быть левыми.
Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.
Рисунок 2. – Расположение корней характеристического уравнения САУ
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 190 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!