Теория вероятностей. В задачах 1.1-1.40 использовать теоремы сложения или произведения вероятностей, формулу полной вероятности или формулы Байеса.

В задачах 1.1-1.40 использовать теоремы сложения или произведения вероятностей, формулу полной вероятности или формулы Байеса.

1.1 Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,7; вероятность попадания второго стрелка – 0,5. Найти вероятности следующих событий:

а) попал хотя бы один стрелок;

б) попал только первый стрелок.

1.2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,8; вероятность попадания второго стрелка – 0,7. Найти вероятности следующих событий:

а) хотя бы один стрелок промахнулся;

б) попали оба стрелка.

1.3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,9; вероятность попадания второго стрелка – 0,8. Найти вероятности следующих событий:

а) только первый стрелок промахнулся;

б) промахнулись оба стрелка.

1.4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,6; вероятность попадания второго стрелка – 0,8. Найти вероятности следующих событий:

а) только второй стрелок промахнулся;

б) первый стрелок попал, а второй промахнулся.

1.5. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,3; вероятность попадания второго стрелка – 0,7. Найти вероятности следующих событий:

а) попал только второй стрелок;

б) оба стрелка промахнулись.

1.6. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,4; вероятность попадания второго стрелка – 0,3. Найти вероятности следующих событий:

а) первый стрелок промахнулся, а второй попал;

б) попал хотя бы один стрелок.

1.7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,4; вероятность попадания второго стрелка – 0,9. Найти вероятности следующих событий:

а) попал хотя бы один стрелок;

б) промахнулись оба стрелка.

1.8. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,5; вероятность попадания второго стрелка – 0,8. Найти вероятности следующих событий:

а) попал только первый стрелок;

б) попали оба стрелка.

1.9. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,6; вероятность попадания второго стрелка – 0,7. Найти вероятности следующих событий:

а) хотя бы один стрелок промахнулся;

б) первый стрелок попал, а второй промахнулся.

1.10. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,7; вероятность попадания второго стрелка – 0,6. Найти вероятности следующих событий:

а) оба стрелка промахнулись;

б) попал только второй стрелок.

1.11. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,8; вероятность попадания второго стрелка – 0,5. Найти вероятности следующих событий:

а) только первый стрелок промахнулся;

б) попал хоты бы один стрелок;

1.12. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,9; вероятность попадания второго стрелка – 0,4. Найти вероятности следующих событий:

а) промахнулся хотя бы один стрелок;

б) попал только первый стрелок.

1.13. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,3; вероятность попадания второго стрелка – 0,9. Найти вероятности следующих событий:

а) попали оба стрелка;

б) только первый стрелок промахнулся.

1.14. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,4; вероятность попадания второго стрелка – 0,8. Найти вероятности следующих событий:

а) попал хотя бы один стрелок;

б) оба стрелка промахнулись.

1.15. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,5; вероятность попадания второго стрелка – 0,7. Найти вероятности следующих событий:

а) хотя бы один стрелок промахнулся;

б) промахнулся только второй стрелок.

1.16. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,6; вероятность попадания второго стрелка – 0,5. Найти вероятности следующих событий:

а) попал хотя бы один стрелок;

б) попали оба стрелка.

1.17. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,7; вероятность попадания второго стрелка – 0,4. Найти вероятности следующих событий:

а) промахнулись оба стрелка;

б) хотя бы один стрелок промахнулся.

1.18. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,8; вероятность попадания второго стрелка – 0,6. Найти вероятности следующих событий:

а) попал хотя бы один стрелок;

б) промахнулся только первый стрелок.

1.19. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,9; вероятность попадания второго стрелка – 0,3. Найти вероятности следующих событий:

а) хотя бы один стрелок промахнулся;

б) первый стрелок попал, а второй промахнулся.

1.20. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,3; вероятность попадания второго стрелка – 0,8. Найти вероятности следующих событий:

а) первый стрелок промахнулся, а второй попал;

б) хотя бы один стрелок попал.

1.21. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 3 белых и 2 черных; во втором – 6 белых и 4 черных; в третьем – 2 белых и 3 черных. Из случайно выбранного ящика наугад берут один шар. Какова вероятность того, что шар черный?

1.22. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 4 белых и 2 черных; во втором – 7 белых и 4 черных; в третьем – 2 белых и 7 черных. Из случайно выбранного ящика взят шар черного цвета. Какова вероятность того, что он вытащен из второго ящика?

1.23. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 13 стандартных и 2 нестандартные детали; во втором – 8 стандартных и 2 нестандартные детали. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь (из случайно выбранного набора) – стандартная.

1.24. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 22 стандартные и 4 нестандартные детали; во втором – 10 стандартных и 3 нестандартные детали. Из случайно выбранного набора деталей выбрана стандартная деталь. Какова вероятность того, что она вытащена из второго набора?

1.25. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 3 белых и 5 черных; во втором – 6 белых и 2 черных; в третьем – 4 белых и 4 черных. Из случайно выбранного ящика наугад берут один шар. Какова вероятность того, что шар белый?

1.26. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 9 белых и 2 черных; во втором – 5 белых и 1 черный; в третьем – 14 белых и 12 черных. Из случайно выбранного ящика взят шар белого цвета. Какова вероятность того, что он вытащен из первого ящика?

1.27. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 13 стандартных и 2 нестандартные детали; во втором – 8 стандартных и 2 нестандартные детали. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь (из случайно выбранного набора) – нестандартная.

1.28. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 26 стандартных и 7 нестандартных деталей; во втором – 18 стандартных и 2 нестандартные детали. Из случайно выбранного набора деталей выбрана нестандартная деталь. Какова вероятность того, что она вытащена из первого набора?

1.29. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 3 белых и 5 черных; во втором – 6 белых и 2 черных; в третьем – 4 белых и 4 черных. Из случайно выбранного ящика наугад берут один шар. Какова вероятность того, что шар черный?

1.30. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 13 белых и 15 черных; во втором – 7 белых и 9 черных; в третьем – 9 белых и 8 черных. Из случайно выбранного ящика взят шар черного цвета. Какова вероятность того, что он вытащен из второго ящика?

1.31. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 23 белых и 22 черных; во втором – 16 белых и 10 черных; в третьем – 12 белых и 3 черных. Из случайно выбранного ящика наугад берут один шар. Какова вероятность того, что шар черный?

1.32. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 6 белых и 12 черных; во втором – 17 белых и 6 черных; в третьем – 12 белых и 17 черных. Из случайно выбранного ящика взят шар черного цвета. Какова вероятность того, что он вытащен из второго ящика?

1.33. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 8 стандартных и 4 нестандартные детали; во втором – 18 стандартных и 5 нестандартных деталей. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь (из случайно выбранного набора) – стандартная.

1.34. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 14 стандартных и 4 нестандартные детали; во втором – 16 стандартных и 2 нестандартные детали. Из случайно выбранного набора деталей выбрана стандартная деталь. Какова вероятность того, что она вытащена из второго набора?

1.35. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 7 белых и 4 черных; во втором – 12 белых и 8 черных; в третьем – 14 белых и 19 черных. Из случайно выбранного ящика наугад берут один шар. Какова вероятность того, что шар белый?

1.36. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 4 белых и 3 черных; во втором – 6 белых и 8 черных; в третьем – 4 белых и 12 черных. Из случайно выбранного ящика взят шар белого цвета. Какова вероятность того, что он вытащен из первого ящика?

1.37. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 14 стандартных и 6 нестандартных деталей; во втором – 10 стандартных и 1 нестандартная деталь. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь (из случайно выбранного набора) – нестандартная.

1.38. Имеются два набора деталей. В них находятся: в первом – 23 стандартных и 6 нестандартных деталей; во втором – 17 стандартных и 2 нестандартные детали. Из случайно выбранного набора деталей выбрана нестандартная деталь. Какова вероятность того, что она вытащена из первого набора?

1.39. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 13 белых и 8 черных; во втором – 6 белых и 11 черных; в третьем – 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранного ящика наугад берут один шар. Какова вероятность того, что шар черный?

1.40. В трех одинаковых ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 3 белых и 20 черных; во втором – 27 белых и 19 черных; в третьем – 9 белых и 10 черных. Из случайно выбранного ящика взят шар черного цвета. Какова вероятность того, что он вытащен из второго ящика?

В задачах 1.41-1.45 использовать формулу Бернулли для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

1.41. Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

1.42. В хлопке число длинных волокон составляет 80 %. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух.

1.43. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

1.44. В некотором водоеме карпы составляют 80 %. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 4 карпа; не мене 4 карпов.

1.45. Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) два узла; б) не менее двух узлов.

В задачах 1.46-1.50 использовать асимптотическую формулу Пуассона для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

1.46. Семена содержат 0,1 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

1.47. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.

1.48. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента

1.49. Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

1.50. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.

В задачах 1.51-1.60 дано, что на тракторном заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.²

1.51 n = 400, p = 0,8, m = 320.

1.52 n = 400, p = 0,9, m = 372.

1.53 n = 300, p = 0,75, m = 240.

1.54 n = 600, p = 0,6, m = 375.

1.55 n = 625, p = 0,64, m = 370.

1.56 n = 192, p = 0,75, m = 150.

1.57 n = 225, p = 0,8, m = 165.

1.58 n = 100, p = 0,9, m = 96.

1.59 n = 150, p = 0,6, m = 75.

1.60 n = 625, p = 0,8, m = 510.

В задачах 1.61-1.80 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание МХ; 2) дисперсию DX; 3) среднее квадратическое отклонение s_х.

1.61.	Х
	р	0,3	0,2	0,4	0,1
1.62.	Х
	р	0,2	0,4	0,3	0,1
1.63.	Х
	р	0,2	0,2	0,5	0,1
1.64.	Х
	р	0,1	0,5	0,3	0,1
1.65.	Х
	р	0,2	0,4	0,3	0,1
1.66.	Х
	р	0,1	0,5	0,2	0,2
1.67.	Х
	р	0,1	0,2	0,5	0,2
1.68.	Х
	р	0,1	0,4	0,2	0,3
1.69.	Х
	р	0,1	0,3	0,4	0,2
1.70.	Х
	р	0,2	0,4	0,3	0,1
1.71.	Х
	р	0,2	0,3	0,1	0,4
1.72.	Х
	р	0,2	0,3	0,4	0,1
1.73.	Х
	р	0,2	0,3	0,1	0,4
1.74.	Х
	р	0,2	0,1	0,5	0,2
1.75.	Х
	р	0,1	0,2	0,4	0,3
1.76.	Х
	р	0,2	0,3	0,4	0,1
1.77.	Х
	р	0,3	0,5	0,1	0,1
1.78.	Х
	р	0,1	0,4	0,3	0,2
1.79.	Х
	р	0,1	0,2	0,2	0,5
1.80.	Х
	р	0,1	0,3	0,2	0,4