Граничные условия. Явление поверхностного эффекта

Пусть плоская волна падает под углом j на плоскую границу раздела двух сред, из которых первая – идеальный диэлектрик, а вторая имеет тепловые потери. В этом случае k ₁ – вещественная величина, а = b₂ - i a₂ – комплексная величина. Рассмотрим практически важный случай, когда вторая среда является хорошим проводником (металлом), для которого

, . (5.27)

Рассмотрим свойства электромагнитного поля вблизи поверхности проводника. При этом, как и в предыдущем разделе, ограничимся только случаем нормальной поляризации.

Из формулы (5.10) следует, что в этом случае величина не является действительной. Найдем действительный угол преломления волны, обозначив его . Для этого надо преобразовать выражение (5.3). Подставляя в (5.3) соотношения (5.10) и (5.27), получаем, что

. (5.28)

Из последней формулы видно, что . Это означает, что при любом угле падения j на поверхность проводника (металла) преломленная волна распространяется вдоль нормали к поверхности раздела.

Этот факт позволяет получить приближенные граничные условия, которые в литературе часто называют граничными условиями Леонтовича - Щукина. Эти условия имеют следующий вид:

. (5.29)

где – комплексное волновое сопротивление второй среды; – орт нормали, направленный из второй среды в первую; – касательные составляющие векторов электромагнитного поля на поверхности проводника со стороны первой среды.

Граничное условие Леонтовича-Щукина значительно упрощает решение многих задач электродинамики, таких, например, как задачи теории поверхностных антенн, задачи распространения волн вдоль поверхности Земли. Это связано с тем, что при использовании условий Леонтовича-Щукина нет необходимости рассматривать поле во второй среде, информация о нем учитывается через величину , входящую в граничное условие.

Из формулы (5.28) следует еще один важный для практики факт. Амплитуда преломленной волны быстро убывает по экспоненте с удалением от границы раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела. Это поверхностный слой или спин-слой. Рассмотрим глубину проникновения поля в проводник. Для хорошего проводника она определяется следующей формулой (см. подразд. 2.3)

.

Из приведенной формулы видно, что глубина проникновения поля в проводник зависит от частоты. В табл. 5.1, в качестве примера, приведена зависимость глубины проникновения от частоты для меди (s₂ = 10⁷ См/м).

Из таблицы видно, что на высоких частотах весь ток фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это явление называется поверхностным эффектом или скин-эффектом.

Таблица 5.1 – Зависимость глубины проникновения от частоты

f	3×104 МГц	300 МГц	3 МГц	30 кГц	50 Гц
l = c/ f	1 см	1 м	100 м	10 км	6000 км
D°	0,0004 мм	0,004 мм	0,04 мм	0,4 мм	1 см

В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше геометрического. Кроме этого поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию внутри проводника, что вызывает уменьшение индуктивности провода.

Будем считать, что весь ток в проводнике течет по его поверхности. Тогда, используя закон Ома в дифференциальной форме, можно записать, что

, (5.30)

где – вектор поверхностной плотности эквивалентного тока, текущего по поверхности проводника; – касательная составляющая вектора напряжен­ности электрического поля на поверхности проводника.

Коэффициент пропорциональности в (5.30) принято называть поверхностным сопротивлением проводника.

Из граничных условий для идеального проводника (см. подразд. 1.6) следует, что

,

где – касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля на поверхности проводника.

Подставим последнюю формулу в (5.30) и сравним полученное выражение с формулой (5.29), тогда получаем, что.

.

Активная часть поверхностного сопротивления проводника

.

Из этой формулы видно, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной без учета поверхностного эффекта. Это объясняет термин "глубина проникновения".