VII. Приложение

1. Задание к проведению практического занятия.

Разработал

Начальник кафедры прикладной математики и информационных технологий

полковник внутренней службы С.Л. Исаков

ЗАДАНИЕ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

по дисциплине «Математика»

Тема № 1 «Комплексные числа, основы векторного и матричного исчислений»

Занятие № 6 «Системы линейных алгебраических уравнений».

I. Учебные вопросы

Основные понятия и определения.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени.

В общем виде система линейных алгебраических уравнений записывается следующим образом:

Числа называются коэффициентами при переменных, а - свободными членами.

Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы одно из чисел не равно нулю.

Система уравнений называется однородной, если все числа равны нулю.

Решением системы уравнений называется совокупность числовых значений переменных, обращающих все уравнения системы в тождества (в верные равенства).

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения называется несовместной. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Совместная система, имеющая бесчисленное множество решений, называется неопределенной.

При решении систем линейных алгебраических уравнений иногда нужно делать такие преобразования системы:

- обе части одного из уравнений системы умножать на некоторое число;

- обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и тоже число, вычитать из соответствующих частей другого уравнения системы:

- удалять из системы уравнений уравнение, коэффициенты которого равны нулю.

Эти преобразования системы приводят ее к эквивалентной системе.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны или обе совместны и имеют одни и те же решения. Эквивалентность обозначается знаком ~.

Коэффициенты системы линейных уравнений можно записать в виде матрицы, тогда указанные преобразования системы можно выполнять со строками матрицы. Это будут элементарные преобразования матрицы.

Решение систем уравнений матричным методом осуществляется следующим образом:

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных, называется матрицей системы.

Обозначается матрица системы как A.

Обозначим: X – матрица переменных, В – матрица свободных членов. Тогда в матричной форме записи система линейных уравнений имеет вид.

где

Если m = n (матрица A – квадратная), то для нахождения решения нужно обе части матричного уравнения умножить слева на матрицу

Матрица системы А. когда к ней добавлен столбец свободных членов, называется расширенной матрицей. Обозначим ее буквой D.