Правило вычисления площадей плоских фигур

С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.

Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси или . Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

1. По условию задачи делают схематический чертеж.

2. Представляют искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.

3. Записывают каждую функцию в виде

4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

Площади фигур, расположенных над осью

Пример1. Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями: x = 25, и y = 0 (рис.4)

Решение. Для любого функция принимает положительные значения; поэтому для вычисления площади данной криволинейной трапеции следует воспользоваться формулой

= dx = x^1/2 = 2

Рис.4

Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью

Пусть на отрезке [a,b] задана неположительная непрерывная функция .

Если фигура, расположенная под осью ОХ, является криволинейной трапецией, то её площадь вычисляется по формуле

или

где

Пример 2.

Решение: На отрезке [0,3] функция

Пусть функция

отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок [a,b] на такие части, в каждой из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить.

Пример 3.

Решение: Парабола пересекает ось абсцисс в точках Фигура, площадь которой требуется найти, отмечена цветом на рисунке 5.

рис.6 рис.7

рис. 5

Пусть S₁ и S₂ - площади частей этой фигуры, соответствующих отрезкам[0,4] и [4,5], а S- искомая площадь; тогда S=S₁ + S_2.

(кв.ед)

Следовательно, S= =13(кв.ед)

Площади фигур, прилегающих к оси

Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой , то ее площадь вычисляется по формуле

Пример 4.

Решение. Данная фигура есть криволинейная трапеция, прилегающая к оси . Пределами интегрирования по являются значения Запишем данную функцию в виде .