Діяльність окремого поста

Одним із найменших підрозділів є окремий пост, який складається з одного відділення, забезпеченого однією автоцистерною. Такі підрозділи формуються в сільській місцевості, невеликих містах та на окраїнах великих міст. Діяльність такого поста можемо вважати одноканальною системою масового обслуговування з відмовами.

Виклики, які надходять до окремого поста, можуть мати різноманітний характер та різноманітний пріоритет, проте ми будемо для кращого розуміння розглядати лише так звані бойові виклики, тобто такі, які пов’язані з виконанням робіт по гасінню чи рятуванню та мають найвищий пріоритет. Процес надходження та обслуговування викликів може бути зображений наступним графіком (Рис. 3.1).

Рис. 3.1. Діяльність окремого поста в часі.

Діяльність підрозділу по виконанню пожежно-рятувальних робіт відзначена заштрихованими ділянками, ширина яких – час виконання робіт T _{1 i}, а очікування – незаштрихованими ділянками. Нехай протягом деякого часу Т окремий пост виконував обслуговування викликів протягом часу T ₁, а був вільним від обслуговування протягом часу T ₀.

Маємо, що

,

а

T = T ₀+ T ₁.

Статистична оцінка ймовірностей того, що відділення було вільним від викликів, або займалося обслуговуванням виклику становить, відповідно

, .

Зауважимо, що p ₀+ p ₁=1.

Проте практична користь такого результату є невелика, оскільки він містить інформацію про діяльність окремого поста за деякий період T і не містить можливості передбачення оперативних параметрів обстановки. Крім того, зрозуміло, що ймовірності p ₀ і p ₁ повинні залежати від частоти надходження викликів і тривалості їх обслуговування. Тому використаємо інший підхід до вирішення цієї задачі.

Нехай потік викликів, які надходять до окремого поста, є пуассонівським, тобто описується формулою

, (3.4)

де p_k (t) – ймовірність того, що за час t надійде рівно k викликів, l - середня кількість викликів за одиницю часу (густина потоку викликів).

Нехай тривалість обслуговування одного виклику описується показниковим законом розподілу

, (3.5)

де P { t_зан < t } – ймовірність того, що час обслуговування виклику триватиме менше t, а , де – середня тривалість обслуговування одного виклику.

Ми можемо розглядати діяльність окремого поста як складну динамічну систему відкритого типу, яка може перебувати в двох станах: E ₀ – стані очікування та E ₁ – стані зайнятості. Від одного стану до іншого система переходить стрибкоподібно. Такі системи називаються марківськими, вперше їх описав російський вчений А.А. Марков (1856-1922). Марківські випадкові процеси зображають у вигляді графа (Рис. 3.2).

Виходячи з наведеного, у будь-який момент часу t окремий пост може знаходитися в станах чергування з ймовірністю p ₀(t) та у стані зайнятості з ймовірністю p ₁(t), звичайно, p ₀(t)+ p ₁(t)=1. Якщо знайдемо ці функції, то ми будемо мати кращий опис процесів в системі.

Рис. 3.2. Граф станів окремого поста.

Для відшукання цих функцій зафіксуємо t і знайдемо ймовірність p ₀(t+Dt). Подія, ймовірність якої шукаємо, вказує на те, що протягом часу t+Dt система знаходилася в стані очікування. А це можливо лише у двох несумісних випадках:

А ={в момент t не було виклику (ймовірність p ₀(t)) та за час Dt не надійшов виклик (ймовірність p ₀(Dt)).

В ={в момент t здійснювалося обслуговування виклику (ймовірність p ₁(t)), але протягом інтервалу Dt обслуговування завершилося і система перейшла в режим чергування (ймовірність P { t_зайн < Dt })}. За теоремою про суму несумісних подій маємо

p ₀(t+Dt)= P (A)+ P (B). (3.6)

Оскільки кожна з подій А і В здійснюється в результаті виконання двох взаємно незалежних випадкових подій, то за теоремою про добуток ймовірностей незалежних подій маємо

P (A)= p ₀(t) p ₀(Dt), (3.7)

P (B)= p ₁(t) P { t_зайн < Dt }. (3.8)

Підставимо (3.7) і (3.8) в (3.6) та одержимо

p ₀(t+Dt)= p ₀(t) p ₀(Dt)+ p ₁(t) P { t_зан < Dt }. (3.9)

Використавши (3.4) і (3.5), маємо

p ₀(t+Dt)= p ₀(t) e^–lDt + p ₁(t)(1– e^–mDt). (3.10)

Оскільки Dt досить мала величина, можна наближено записати, що e^–lDt =1 –lDt, e^–mDt =1 –mDt. Тоді можемо переписати (3.10) у вигляді

p ₀(t+Dt)= p ₀(t) (1 –lDt)+ p ₁(t) (mDt). (3.11)

З (3.11) одержуємо

. (3.12)

Перейдемо в рівності (3.12) до границі при Dt ®0 і одержимо диференціальне рівняння

, (3.13)

яке є лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку з двома невідомими p ₀(t) і p ₁(t). Аналогічно можемо одержати диференціальне рівняння

. (3.14)

Розв’язавши систему рівнянь (3.13) – (3.14), маємо

, (3.15)

. (3.16)

Сума p ₀(t)+ p ₁(t)=1, а при t =0 маємо p ₀(t)=1, p ₁(t)=0 – виконуються початкові умови.

Таким чином, знайдено математичний опис (математичну модель) діяльності окремого поста.

Перейшовши в (3.15) та (3.16) до границь при t®¥, одержуємо граничні значення ймовірностей p ₀(t) і p ₁(t):

, (3.17)

. (3.18)

Границі (3.17) та (3.18) означають, що через деякий час система перейде в стаціонарний стан (не залежатиме від часу) (Рис. 3.3).

p 0

p 1

Перехідний Стаціонарний

t

p 0(t)

p 1(t)

Рис. 3.3. Графіки ймовірностей p ₀(t) і p ₁(t).

Позначимо через

, (3.19)

та з (3.17) та (3.18) одержимо, що

,

.

При малих значеннях a ймовірність зайнятості системи мала, а ймовірність очікування – висока. Це може бути у випадку, коли малою є або величина l (дуже мала кількість викликів), або (виклики обслуговуються дуже швидко).

Найважливішим показником діяльності оперативних служб є ймовірність відмови в обслуговуванні, яка у нашому випадку

. (3.20)

Згадаємо, що , де T – загальний період часу діяльності системи, а T ₁ – час обслуговування викликів. Тоді

.

Позначимо кількість викликів, які надійшли за період T через N. Зрозуміло, що сумарна кількість викликів складається з суми кількості викликів, що обслуговані та кількості не обслугованих викликів

N = N_обсл + N_необсл.

Визначити кількість обслугованих та не обслугованих викликів можна за допомогою формул

, .

Приклад. Нехай відділення окремого поста здійснює протягом року близько 30 виїздів, середня тривалість виїзду 2 год. Знайти кількість обслугованих та не обслугованих викликів за рік.

Маємо

(виклики/год.)

і

.

Тоді

(викликів),

(виклики).

Це означає, що протягом 5 років, в середньому, може бути одна відмова.