Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Класичні методи знаходження екстремуму. Множники Лагранжа



Методи знаходження екстремуму відомі з курсу вищої математики. Вони базуються на засобах диференціального числення.

Розглянемо класичний метод розв’язку задачі нелінійного програмування – метод множників Лагранжа.

Розглянемо задачу

z = f (x 1, x 2,…, xn)®max (2.15)

gi (x 1, x 2,…, xn)=0, i =1,…, m. (2.16)

Нехай функції f і gi неперервні разом зі своїми частинними похідними. Складемо функцію Лагранжа з множниками Лагранжа l i

F (x 1, x 2,…, xn,l1,l2,…,l m)= f (x 1, x 2,…, xn)+

+ l igi (x 1, x 2,…, xn) (2.17)

та знайдемо частинні похідні , та прирівняємо їх до 0. Одержимо систему рівнянь.

(2.18)

Якщо функція z = f (x 1, x 2,…, xn) в точці X °=(x 1°, x 2°,…, xn °) має екстремум, то існує такий набір чисел L°=(l1°,l2°,…,l m °), що точка (x 1°, x 2°,…, xn °,l1°,l2°,…,l m °) є розв’язком системи (2.18). Тому, розв’язуючи систему (2.18), можемо отримати точки, підозрілі на екстремум. Для визначення глобального екстремуму обчислюють і порівнюють значення функцій в таких точках. Для визначення локального екстремуму можна застосовувати і достатні умови екстремуму при умові існування частинних похідних другого порядку для функцій f і gi, проте практичного застосування цей метод не має через свою складність. Метод множників Лагранжа має обмежене застосування, оскільки система (2.18) має декілька розв’язків. Близьким до методу множників Лагранжа є також метод знаходження сідлової точки Куна-Таккера, який теж використовує функцію Лагранжа.

Приклад. Знайти точки екстремуму функції

z = x 1 x 2+ x 2 x 3

при обмеженнях

.

Складемо функцію Лагранжа

F (x 1, x 2, x3,l1,l2)= x 1 x 2+ x 2 x 3+l1(x 1+ x 2–2)+l2(x 2+ x 3–2).

Продиференціюємо систему по всіх змінних. Одержимо таку систему рівнянь

Розв’язком системи є x 1= x 2= x 3=1, l1=l2= –1.

Тому розв’язком цієї задачі буде x 1= x 2= x 3=1, при цьому значення функції мети буде z =2.

? Контрольні запитання

  1. Сформулюйте задачу нелінійного програмування.
  2. Як класифікують задачі нелінійного програмування?
  3. У яких випадках для розв’язування задачі нелінійного програмування може бути використаний графічний метод. Поясніть суть цього методу.
  4. В чому полягає суть методу множників Лагранжа?




Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 679 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.074 с)...