Розділ 2. Математичне програмування

Для успішного розв’язку прикладної задачі, записаної в формі деякої моделі необхідно дослідити цю модель. Одним із важливих характеристик моделі є її екстремуми. Поняття екстремуму (максимуму чи мінімуму) відоме з курсу вищої математики. Методами диференціального числення відшуковують екстремуми функцій. Проте класичні методи диференціального числення не завжди дають змогу знайти екстремум (у вищій математиці розглядалися методи знаходження екстремуму диференційованих функцій однієї чи двох змінних). Більш загальний підхід реалізований у розділі математики – математичному програмуванні. Завдання цього розділу – розглянути методи та теорію екстремумів функцій багатьох змінних за умови додаткових обмежень на змінні, що мають форму рівнянь чи нерівностей. Виникло математичне програмування як самостійний розділ у 50-их роках ХХ ст. Сферою застосування математичного програмування стали такі галузі, як економіка, техніка, військова справа та інші, де необхідний оптимальний розв’язок. У діяльності служби цивільного захисту населення також виникають ситуації, коли необхідно знайти оптимальний розв’язок задач розміщення, матеріального постачання планування рятувальних дій та інших.

В загальному вигляді задача математичного програмування має вигляд:

Знайти максимум функції мети

f (x ₁,…, x_n) (2.1)

на деякій множині G, що задана системою нерівностей

g_i (x ₁,…, x_n)£0, i =1,… m, (2.2)

(x ₁,…, x_n)Î X, X Ì R ⁿ. Точка. (x ₁,…, x_n), яка задовольняє всім обмеженням (належить G), називається допустимою точкою (допустимим розв’язком), допустимий розв’язок, якщо він досягає максимуму в деякому околі, називається оптимальним розв’язком.