Значения и корни многочленов. Схема Горнера

Пусть у нас дан многочлен a₀xⁿ + a₁x^n-1+ … + a_n-1x + a_n.

Определение. Число с называется корнем многочлена f(х), если значение многочлена при х = с равно нулю.

Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени. Для любого натурального числа п можно указать многочлены степени n, имеющие ровно n корней.

Например, многочлен f(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)…(x – n) имеет n корней, которыми будут являться числа 1, 2, 3,..., n.

В тоже время существуют многочлены, число корней которых меньше их степени. Так многочлен (х² +1), степень которого равна 2, вообще не имеет корней из множества действительных чисел.

Обсудим теперь понятие равенства многочленов. Если мы смотрим на многочлен как на формальное выражение с переменной х, то естественно считать, что два многочлена равны, если они имеют одинаковую степень и соответствующие их коэффициенты равны. Такое равенство многочленов называется равенством в алгебраическом смысле, то есть если:

f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1+ … + a_n-1x + a_n

и

g(x) = a₀x^m + a₁x^m-1+ … + a_m-1x + a_m , и многочлены f(x) и g(x) равны, то m = n и a₀ = b₀, …, a_n = b_n.

Однако на многочлен

f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1+ … + a_n-1x + a_n

можно смотреть, как на функцию. Но тогда можно говорить о равенстве двух многочленов как о равенстве двух функций. Известно, что две функции называются равными, если они имеют одну и ту же область определения и каждому числу из этой области определения обе функции ставят в соответствие одно и то же число. Равенство многочленов, понимаемое в этом смысле, будем называть равенством в функциональном смысле. Если многочлены f(x) и g(x) равны, то для любого c R имеем f(с) = g(с).

Итак, мы располагаем двумя понятиями о равенстве на множестве многочленов. Эти определения понятия равенства многочленов эквивалентны. Иначе говоря, если два многочлена равны в алгебраическом смысле, то они равны и в функциональном смысле, и обратно.

Для решения задач важно запомнить:

· Значение f (0) равно свободному члену многочлена;

· f (1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Нахождение значений многочлена в соответствии с определением не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемой схемой Горнера – по имени английского математика 16 века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена f = 2x⁴ – 9x³ – 32x² – 57 при х = 7, строка его коэффициентов записывается первой, старший коэффициент «дублируется» во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой нужно заполнить.

		- 9	- 32		- 57

Это делается по единому правилу: стоящее слева от заполняемой клетки число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над ней. Поэтому в первой пустой клетке получится 2 ∙ 7 + (-9) = 5, во второй - 5 ∙ 7 + (-32) = 3, в третьей 3 ∙ 7 + 0 = 21 и в последней - 21 ∙ 7 + (-57) = 90. Полностью заполненная схема Горнера выглядит так:

		- 9	- 32		- 57

Такие вычисления приводят к ответу: f (7) = 90 – это последнее число второй строки.

Приложение 2