Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности, произведения и частного

Везде далее будем рассматривать только целые числа.

Определение Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а = bc. При этом число c называется частным от деления а на b.

Обозначения: - а делится на b или b ½ a – b делит a

Рассмотрим простейшие свойства делимости.

Для любых целых чисел a, b, c справедливы:

Теорема 1. Если и с – частное от деления, то с – единственное.

Теорема 2.

Теорема 3. Если и , то .

Теорема 4. Если и , то или a=b, или a= -b.

Теорема 5. Если и , то а=0.

Теорема 6. Если и а¹0, то .

Теорема 7. Для того чтобы необходимо и достаточно чтобы .

Замечание. На основании теоремы 1.8. в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость произвольных целых чисел сводится к делимости неотрицательных чисел.

Теорема 8. Если , то .

Теорема 9. Если сумма чисел и к-1 слагаемое этой суммы делится на некоторое число с, то и к-ое слагаемое делится на с.