О возникновении и развитии способов записи целых неотрицательных чисел

«записи» чисел при помощи зарубок или узлов был не слишком удоб­ным, поскольку для записи больших чисел приходилось делать много зарубок или узлов, что затрудняло не только запись, но и сравнение чисел друг с другом, трудно было выполнять и действия над числами. Поэтому возникли иные, более экономные способы записи чисел: счет стали вести группами, состоящими из одинако­вого числа элементов. Этому способствовало развитие счета при помощи пальцев рук и ног. Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления: пятеричной, деся­тичной, двадцатеричной и др.

Вообще самой старой системой счисления считается двоичная. Она возникла, когда человек вел счет не по пальцам, а при помощи рук, т. е. когда единицей низшего разряда являлась одна рука, а единицей высшего — две руки. Следы этой системы сохранились и сегодня — они выражаются в стремлении считать парами.

Постепенно под влиянием растущих экономических потребностей человечество создавало методы счета. Процесс этот был стихийным и долгим. Начинался он в далекие времена, когда люди вырабаты­вали первые математические понятия, и в частности понятия нату­рального числа и счета.

Их дальнейшее развитие происходило в эпоху формирования древнейших государств — Вавилона, Египта, Китая и др., т. е. около пяти тысяч лет тому назад. В этот период были созданы новые способы записи чисел.

В Древнем Вавилоне считали группами по шестьдесят, т. е. сис­тема счисления здесь была шестидесятеричная. Например, число 137 вавилонский математик представлял себе так: 137 = 2-60+17. Конечно, записывалось это число другими знаками — треугольными клиньями. Дело в том, что записи древние вавилоняне производили на глиняных табличках путем выдавливания из них треугольных клиньев. Потом эти таблички сушили и обжигали.

Для записи чисел использовались положения клина: вертикаль­ное — острием вниз и горизонтальное — острием влево. При этом знак • означал единицу и шестьдесят, знак «— десяток. Другие числа изображались при помощи этих знаков и действия сложения. Например, число 5 изображалось так: а число 137 так:. Последняя запись числа в шестидесятеричной системе: 60+60+10+7=2∙60+17.

Однако изобретенная в Древнем Вавилоне запись чисел имела недостатки: в ней трудно было изображать большие числа, не было специального знака для основания системы счисления — числа 60, что приводило к разночтению отдельных записей.

Почему в основу своей системы счисления вавилоняне положили число 60? Однозначно ответить на этот вопрос трудно. Отметим только, что древние вавилоняне располагали достаточно большим запасом знаний в различных областях: математике, астрономии. Существует предположение, что основой для создания шестидесяте­ричной системы счисления послужило деление окружности на 360

десятичную систему счисления, т. е. тот способ записи и чтения чисел, которым теперь пользуется все человечество. Датируется это событие VI в. и. э. В чем состояло это открытие? Ведь люди с древних времен выи запись чисел.

Дело в том, что при таком способе записи чисел, который при думали индийские математики, значение каждой цифры в записи числа зависит от се места, позиции. Например, одна и та же цифра 7 в числе 703 обозначает 7 сотен, в числе 72 — семь десятков, а в числе 7230 — семь тысяч. Оказалось, что при помощи десяти цифр можно записать любое число. Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной. Кроме того, в Индии впервые стал употребляться нуль для обозначения отсутствующих разряд­ных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании записи числа и упрощении вычислений.

Конечно, привычная для нас запись нуля появилась не сразу. Скачала, если в числе не было какого-нибудь разряда, индийцы вместо названия цифры говорили слово «пусто», а при записи на мес­те «пустого» разряда ставили точку. Позднее вместо точки стали ри­совать кружок, который назывался «сунья», что на языке хинди значит «пусто».

При переводе на арабский язык слово «сунья» превратилось в слово «сифр», которое на русском языке звучит как «цифра». Цифрами мы называем все десять знаков, используемых для записи чисел: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но еще двести лет назад цифрой назывался только один знак — 0.

Цифры, с помощью которых записываются числа в десятичной системе счисления, тоже были придуманы математиками Древней Индии. Хотя, конечно, их первоначальное написание значительно отличается от современного. Нынешняя форма цифр установилась только после изобретения книгопечатания — в XV веке.

Почему же цифры, изобретенные в Индии, часто называют арабскими? Дело в том, что возникшее в VII веке на Аравийском полуострове государство арабов за двести лет подчинило себе значительное число государств, стоящих на более высокой ступени развития. В состав Арабского халифата входили, например, Север­ная Индия, Египет, Средняя Азия, Месопотамия, Персия, Закав­казье, Северная Африка и другие государства. Столицей этого огром­ного государства был город Багдад, который стал центром арабской культуры. Арабы понимали значение науки и тщательно собирали, изучали и переводили на свой язык труды ученых завоеванных стран, в том числе Греции, Индии, Средней Азии.

Однако арабские математики не только сохранили труды вы­дающихся ученых древности, но и внесли большой вклад в развитие математики.

Выдающимся ученым IX века был узбекский (хорезмский) математик Мухаммед бен Муса аль-Хорезми. Его книга «Китаб аль-Джебр», где изложены правила решения арифметических задач и уравнений, дала имя науке алгебре.