Задачи для самостоятельной работы. 1. Заданы координаты вектора = (4; 5; –3)

1. Заданы координаты вектора = (4; 5; –3). Написать разложение вектора по единичным ортам.

2. Даны точки и . Найти проекции вектора на оси координат; определить длину вектора.

3. Задан вектор . Найти единичный вектор того же направления.

4. Найти скалярное произведение векторов и .

5. При каком значении x векторы и перпендикулярны?

6. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ; = .

7. Найти угол между векторами и , если и .

8. Найти угол в градусах между векторами ; = .

9. Определить углы треугольника АВС с вершинами , и .

10. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах ; = .

11. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ; = , где , – единичные векторы с углом между ними 60°.

12. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ; = , где , – единичные векторы с углом между ними 30 °.

Зная, что , и что векторы и образуют угол равный , вычислить при каком значении a векторы и перпендикулярны?

13. Векторы и образуют угол равный и , . Найти .

14. Даны векторы и , , , . Найти .

15. Прямая, проходящая через точку О, – центроид куба – параллельно прямой пересекает сферу, описанную около этого куба, в точках P и Q, причем точка P и вершина A лежат по разные стороны от плоскости . Найдем следующие углы:

а) между прямыми и ;

б) между прямой и плоскостью ;

в) между плоскостями и .