![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример 11. В равнобедренном треугольнике АВС () точка Е делит боковую сторону
в отношении 3:1 (считая от вершины В). Найти угол между векторами
и
, если
Рис. 3.4 |
Легко видеть (рис. 3.4), что и что
. Поэтому, пользуясь свойствами скалярного произведения, имеем
() =
= =
=
.
Опуская высоту в треугольнике АВС, получаем прямоугольный треугольник
, в котором
. Тогда
=
Поскольку величина угла между векторами и
равна
, то
=
. Значит (
) =
. Далее по теореме косинусов имеем
=
=
Теперь получаем, что
Значит, .
Ответ: .
Пример 12. Длина ребра куба
равна 1. На ребре
взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна 1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF равна 1/4. Через центр куба и точки E и F проведена плоскость
. Найти расстояние от вершины
до плоскости
(рис. 3.5).
Рис. 3.5 |
Решение. Обозначим через ортогональную проекцию точки
на плоскость
. Введем в пространстве систему координат, поместив начало координат в точку
и направив ось Ох по лучу
, ось Оy по лучу
, ось Cz по лучу
и взяв за единицу масштаба отрезок, длина которого равна 1. Тогда точки E, F, K, B 1 будут иметь следующие координаты: E (1; 0; 1/3), F (0; 1/4; 0); K (1/2; 1/2; 1/2), B 1(0; 0; 1). Поскольку векторы
и
не коллинеарны и точка Q лежит в плоскости a, то существyют числа b и g такие, что
и
. Поскольку
,
,
, то
.
Вектор ортогонален векторам
и
, поэтому
0 = (,
) =
.
0 = (,
)=
.
Решая эту систему относительно b и g,
;
,
находим b = –12/85 и g = 18/85. Тогда
, и искомое расстояние равно
.
Ответ: .
Пример 13. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник, а точка O – основание высоты SO пирамиды – является серединой стороны AB и SO = 3:2. На ребрах SC и SB взяты соответствующие точки P и Q – средины этих ребер. Найти угол между прямыми AP и CQ (см. рис. 3.6).
Решение. Соединим точку O с точкой C. Так как SO – высота пирамиды, то SO ^ AB и SO ^ OC. Кроме того, треугольник ABC правильный, поэтому CO ^ AB. Таким образом, удобно выбрать прямоугольную систему координат , как показано на рисунке. Примем сторону основания равной AB = 2. Тогда SO = 3, OC =
. Найдем координаты нужных для дальнейших вычислений точек. Имеем O (0; 0; 0),
, A (0; 1; 0), S (0; 0; 3), B (0; –1; 0),
,
. Далее находим координаты векторов
,
. Теперь прямым счетом находим
=
. Итак, угол между прямыми AP и CQ равен arccos
.
Рис. 3.6 |
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 1002 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!