Решение типовых задач. Скалярным произведением векторов и называется число

Скалярным произведением векторов и называется число

, (3.14)

где – угол между векторами и .

Приняты обозначения скалярного произведения или ().

Отметим следующие свойства скалярного произведения:

1) = ; 2) = + ; 3) .

В частности: , откуда

. (3.15)

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой

= . (3.16)

Косинус угла между векторами и определяется по формуле

. (3.17)

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид

или . (3.18)

Если скалярное произведение отрицательно , то угол между векторами и тупой. Если , то угол между векторами и острый.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов и является существование такого числа , что

. (3.19)

Если , то векторы имеют одинаковое направление, если , то направление противоположное. Из выражения (3.13) следует, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

= = .

Аппарат векторной алгебры позволяет создать особый метод решения различных геометрических задач. В таблице приводятся примеры использования векторного языка для формулировки и доказательства некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.

Что требуется (на геометрическом языке)	Что достаточно сделать (на векторном языке)
1. Установить параллельность прямых и	Вводятся отрезки и , находят , где отрезки и принадлежат соответственно прямым m и n; – число
2. Установить, что точки А, В и С принадлежат прямой	Установить справедливость одного из следующих равенств: , или , или ; Доказать равенство , где и – произвольная точка прямой
3. Установить перпендикулярность прямых m и n (т. е. )	Из скалярного произведения , где точки А и В принадлежат прямой m, а точки и – прямой n
4. Вычислить длину отрезка	В некоторой системе координат превратить искомый отрезок АВ в вектор и воспользоваться формулой
5. Вычислить величину угла	Выбрать на сторонах угла векторы и и воспользоваться формулой , где – угол между векторами и

Рис. 3.2

Пример 1. Векторы и служат диагоналями параллелограмма . Выразить через и (рис. 3.2).

Решение. По определению суммы и разности векторов имеем + = , = . Сложив эти равенства, получим

. Далее находим:

,

,

Пример 2. Векторы и служат сторонами треугольника . Найти длину медианы .

Решение. = ( ), = =(1; –1; 4).

.

Ответ: .

Пример 3. При каком значении векторы и перпендикулярны?

Решение. Воспользуемся формулой (3.17)

= , , .

Ответ: .

Пример 4. При каком значении векторы и коллинеарны?

Решение. Воспользуясь соотношением (3.18), получим . Отсюда: , , . Решая эту систему получим , . Или из пропорциональности координат

.

Ответ: при .

Пример 5. Даны вершины треугольника , , . Найти .

Решение. Находим координаты векторов ; имеем , . Угол равен углу между векторами и , обозначим его через , тогда

= .

Ответ: , .

Пример 6. Векторы и образуют угол равный . Зная, что , вычислить

()().

Решение. Найдем скалярное произведение

()()= + =

= .

Ответ: ()() .

Пример 7. Даны векторы и , такие, что , , . Найти .

Решение. Воспользуемся соотношением (3.15) для нахождения
модуля вектора через скалярное произведение. Находим = .

Аналогично, находим

=

= .

Получаем = ; . Складываем эти два соотношения: . Переходим к числам , отсюда , или . Второе значение корня не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: .

Пример 8. Найти координаты точки , лежащей на оси Ох и одинаково удаленной от точек А (1; 2; 3) и В (2; 2; 4).

Решение. Так как точка лежит на оси Ох, то ее вторая и третья координаты равны нулю, т. е. координаты точки есть . По формуле (2.6) расстояния между двумя точками имеем

.

.

Поскольку , то .

Обе части полученного уравнения определены при всех значениях и неотрицательны. Следовательно, это уравнение равносильно уравнению , его единственный корень .

Ответ: координаты точки (; 0; 0).

Пример 9. В параллелограмме известны координаты вершины , векторы и . Найти сумму координат вершины А.

Рис. 3.3

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 3.3).

Пусть искомые координаты точки А будут , тогда вектор

. Кроме того, , тогда – . Переходя к координатам, будем иметь

;

;

.

Суммируя полученные координаты, получаем

Ответ:

Пример 10. В декартовой прямоугольной системе координат Оху на кривой заданы две точки А и В. При этом скалярные произведения и где – единичный вектор оси Ох. Найти вектор и его длину.

Решение. Запишем координаты единичного вектора оси Ох, вектора . Обозначим координаты вектора как координаты вектора как , тогда наши скалярные произведения, согласно условию задачи:

; .

Отсюда получаем , . Нам известно, что точки А и В лежат на кривой , тогда найдем вторые координаты и векторов и (координаты этих векторов такие же, как и у точек А и В, поскольку точка О (0; 0). Итак, координаты векторов и . Находим вектор . Далее находим модуль этого вектора .

Ответ: .