Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Скалярным произведением векторов и называется число
, (3.14)
где – угол между векторами и .
Приняты обозначения скалярного произведения или ().
Отметим следующие свойства скалярного произведения:
1) = ; 2) = + ; 3) .
В частности: , откуда
. (3.15)
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой
= . (3.16)
Косинус угла между векторами и определяется по формуле
. (3.17)
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид
или . (3.18)
Если скалярное произведение отрицательно , то угол между векторами и тупой. Если , то угол между векторами и острый.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов и является существование такого числа , что
. (3.19)
Если , то векторы имеют одинаковое направление, если , то направление противоположное. Из выражения (3.13) следует, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:
= = .
Аппарат векторной алгебры позволяет создать особый метод решения различных геометрических задач. В таблице приводятся примеры использования векторного языка для формулировки и доказательства некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.
Что требуется (на геометрическом языке) | Что достаточно сделать (на векторном языке) |
1. Установить параллельность прямых и | Вводятся отрезки и , находят , где отрезки и принадлежат соответственно прямым m и n; – число |
2. Установить, что точки А, В и С принадлежат прямой | Установить справедливость одного из следующих равенств: , или , или ; Доказать равенство , где и – произвольная точка прямой |
3. Установить перпендикулярность прямых m и n (т. е. ) | Из скалярного произведения , где точки А и В принадлежат прямой m, а точки и – прямой n |
4. Вычислить длину отрезка | В некоторой системе координат превратить искомый отрезок АВ в вектор и воспользоваться формулой |
5. Вычислить величину угла | Выбрать на сторонах угла векторы и и воспользоваться формулой , где – угол между векторами и |
Рис. 3.2 |
Решение. По определению суммы и разности векторов имеем + = , = . Сложив эти равенства, получим
. Далее находим:
,
,
Пример 2. Векторы и служат сторонами треугольника . Найти длину медианы .
Решение. = ( ), = =(1; –1; 4).
.
Ответ: .
Пример 3. При каком значении векторы и перпендикулярны?
Решение. Воспользуемся формулой (3.17)
= , , .
Ответ: .
Пример 4. При каком значении векторы и коллинеарны?
Решение. Воспользуясь соотношением (3.18), получим . Отсюда: , , . Решая эту систему получим , . Или из пропорциональности координат
.
Ответ: при .
Пример 5. Даны вершины треугольника , , . Найти .
Решение. Находим координаты векторов ; имеем , . Угол равен углу между векторами и , обозначим его через , тогда
= .
Ответ: , .
Пример 6. Векторы и образуют угол равный . Зная, что , вычислить
()().
Решение. Найдем скалярное произведение
()()= + =
= .
Ответ: ()() .
Пример 7. Даны векторы и , такие, что , , . Найти .
Решение. Воспользуемся соотношением (3.15) для нахождения
модуля вектора через скалярное произведение. Находим = .
Аналогично, находим
=
= .
Получаем = ; . Складываем эти два соотношения: . Переходим к числам , отсюда , или . Второе значение корня не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: .
Пример 8. Найти координаты точки , лежащей на оси Ох и одинаково удаленной от точек А (1; 2; 3) и В (2; 2; 4).
Решение. Так как точка лежит на оси Ох, то ее вторая и третья координаты равны нулю, т. е. координаты точки есть . По формуле (2.6) расстояния между двумя точками имеем
.
.
Поскольку , то .
Обе части полученного уравнения определены при всех значениях и неотрицательны. Следовательно, это уравнение равносильно уравнению , его единственный корень .
Ответ: координаты точки (; 0; 0).
Пример 9. В параллелограмме известны координаты вершины , векторы и . Найти сумму координат вершины А.
Рис. 3.3 |
Пусть искомые координаты точки А будут , тогда вектор
. Кроме того, , тогда – . Переходя к координатам, будем иметь
;
;
.
Суммируя полученные координаты, получаем
Ответ:
Пример 10. В декартовой прямоугольной системе координат Оху на кривой заданы две точки А и В. При этом скалярные произведения и где – единичный вектор оси Ох. Найти вектор и его длину.
Решение. Запишем координаты единичного вектора оси Ох, вектора . Обозначим координаты вектора как координаты вектора как , тогда наши скалярные произведения, согласно условию задачи:
; .
Отсюда получаем , . Нам известно, что точки А и В лежат на кривой , тогда найдем вторые координаты и векторов и (координаты этих векторов такие же, как и у точек А и В, поскольку точка О (0; 0). Итак, координаты векторов и . Находим вектор . Далее находим модуль этого вектора .
Ответ: .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 231 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!