![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Скалярным произведением векторов
и
называется число
, (3.14)
где – угол между векторами
и
.
Приняты обозначения скалярного произведения или (
).
Отметим следующие свойства скалярного произведения:
1) =
; 2)
=
+
; 3)
.
В частности: , откуда
. (3.15)
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой
=
. (3.16)
Косинус угла между векторами и
определяется по формуле
. (3.17)
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и
имеет вид
или
. (3.18)
Если скалярное произведение отрицательно
, то угол между векторами
и
тупой. Если
, то угол между векторами
и
острый.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов и
является существование такого числа
, что
. (3.19)
Если , то векторы имеют одинаковое направление, если
, то направление противоположное. Из выражения (3.13) следует, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:
=
=
.
Аппарат векторной алгебры позволяет создать особый метод решения различных геометрических задач. В таблице приводятся примеры использования векторного языка для формулировки и доказательства некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.
Что требуется (на геометрическом языке) | Что достаточно сделать (на векторном языке) |
1. Установить параллельность прямых ![]() ![]() | Вводятся отрезки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2. Установить, что точки А, В и С принадлежат прямой ![]() | Установить справедливость одного из следующих равенств: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
3. Установить перпендикулярность прямых m и n (т. е. ![]() | Из скалярного произведения ![]() ![]() ![]() |
4. Вычислить длину отрезка ![]() | В некоторой системе координат превратить искомый отрезок АВ в вектор ![]() ![]() |
5. Вычислить величину угла ![]() | Выбрать на сторонах угла векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рис. 3.2 |
Решение. По определению суммы и разности векторов имеем +
=
,
=
. Сложив эти равенства, получим
. Далее находим:
,
,
Пример 2. Векторы и
служат сторонами треугольника
. Найти длину медианы
.
Решение. =
(
),
=
=(1; –1; 4).
.
Ответ: .
Пример 3. При каком значении векторы
и
перпендикулярны?
Решение. Воспользуемся формулой (3.17)
=
,
,
.
Ответ: .
Пример 4. При каком значении векторы
и
коллинеарны?
Решение. Воспользуясь соотношением (3.18), получим . Отсюда:
,
,
. Решая эту систему получим
,
. Или из пропорциональности координат
.
Ответ: при .
Пример 5. Даны вершины треугольника ,
,
. Найти
.
Решение. Находим координаты векторов ; имеем
,
. Угол
равен углу между векторами
и
, обозначим его через
, тогда
=
.
Ответ:
,
.
Пример 6. Векторы и
образуют угол равный
. Зная, что
,
вычислить
()(
).
Решение. Найдем скалярное произведение
()(
)=
+
=
= .
Ответ: ()(
)
.
Пример 7. Даны векторы и
, такие, что
,
,
. Найти
.
Решение. Воспользуемся соотношением (3.15) для нахождения
модуля вектора через скалярное произведение. Находим =
.
Аналогично, находим
=
= .
Получаем =
;
. Складываем эти два соотношения:
. Переходим к числам
, отсюда
, или
. Второе значение корня не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: .
Пример 8. Найти координаты точки , лежащей на оси Ох и одинаково удаленной от точек А (1; 2; 3) и В (2; 2; 4).
Решение. Так как точка лежит на оси Ох, то ее вторая и третья координаты равны нулю, т. е. координаты точки
есть
. По формуле (2.6) расстояния между двумя точками имеем
.
.
Поскольку , то
.
Обе части полученного уравнения определены при всех значениях и неотрицательны. Следовательно, это уравнение равносильно уравнению , его единственный корень
.
Ответ: координаты точки (
; 0; 0).
Пример 9. В параллелограмме известны координаты вершины
, векторы
и
. Найти сумму координат вершины А.
Рис. 3.3 |
Пусть искомые координаты точки А будут , тогда вектор
. Кроме того,
, тогда
–
. Переходя к координатам, будем иметь
;
;
.
Суммируя полученные координаты, получаем
Ответ:
Пример 10. В декартовой прямоугольной системе координат Оху на кривой заданы две точки А и В. При этом скалярные произведения
и
где
– единичный вектор оси Ох. Найти вектор
и его длину.
Решение. Запишем координаты единичного вектора оси Ох, вектора . Обозначим координаты вектора
как
координаты вектора
как
, тогда наши скалярные произведения, согласно условию задачи:
;
.
Отсюда получаем ,
. Нам известно, что точки А и В лежат на кривой
, тогда найдем вторые координаты
и
векторов
и
(координаты этих векторов такие же, как и у точек А и В, поскольку точка О (0; 0). Итак, координаты векторов
и
. Находим вектор
. Далее находим модуль этого вектора
.
Ответ: .
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 246 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!