Моделирование марковских случайных процессов

Во многих радиотехнических приложениях СВ (х₁, х₂,..., х_n) связаны со значениями непрерывного процесса х(t) в моменты времени t₁, t₂,..., t_n, т.е. х₁ = х(t₁), х₂ = х(t₂),..., х_n = х(t_n). В этом случае упорядоченная система непрерывных СВ х₁, х₂,..., х_n (рис.3.1) называется случайной последовательностью, которую можно также интерпретировать как реализацию СП в данном опыте [5].

Простейшее вероятностное описание СП соответствует независимым СВ х₁, х₂,..., х_n, тогда совместная ПРВ w(х₁, х₂,..., х_{n) = .} Однако последовательность независимых СВ представляет собой ММ довольно узкого класса реальных процессов. Действительно с помощью СП с независимыми значениями невозможно дать описание "гладких", коррелированных помех или медленно изменяющихся параметров полезных сигналов, например, координат радиолокационных целей. Поэтому во многих задачах необходимо использовать модели СП с зависимыми значениями. В общем случае совместная ПРВ таких СП определяется по формуле

w(х₁, х₂,..., х_{n) =} w(х₁₎ w₍х_2/х₁₎ w(х_3/х_1, х_2)... w(х_n/х₁, х₂,..., х_n-1).

Рис.3.1 Случайная последовательность

Математические трудности применения этой формулы для вероятностных расчетов быстро нарастают с увеличением n. В связи с этим необходимо из всех возможных СП с зависимыми значениями выделить класс СП, имеющих относительно простое математическое описание. Очевидно, наиболее простые соотношения для ПРВ получатся, если положить

w(х_i/х₁, х₂,..., х_i-1) = w(х_i/ х_i-1). (3.1)

Это равенство означает, что условная ПРВ и, следовательно, любые другие вероятностные характеристики СП до момента времени t_i являются функциями только значения х_i-1, принятого СП в предшествующий момент времени. Случайные последовательности, удовлетворяющие (3.1), называются марковскими по имени русского математика А.А.Маркова, разработавшего основы теории таких СП. Марковская последовательность называется однородной, если условные ПРВ w(х_i/х_i-1), называемые ПРВ перехода, не зависят от i. Марковская последовательность называется стационарной, если она однородна и все состояния х_i имеют одну и ту же безусловную ПРВ w(х). При моделировании марковских СП для формирования на ЭВМ случайных чисел с заданным законом распределения могут быть использованы методы, рассмотренные выше.

В более общем случае рассматриваются N-связные марковские процессы, т.е. N взаимосвязанных между собой процессов х₁(t), …, х_n(t), в совокупности обладающих марковскими свойствами [1, 4, 11]. Эти процессы характеризуются условной ПРВ перехода, которая имеет вид:

w(х_1, n, …, х_{N, n}, t_n׀х_1,n-1, …, х_{N, n-1}, t_n-1) = w₀(х_{1, n}, …, х_{N, n}, х_{1, n-1}, …, х_{N, n-1}, t_n, t_n-1).

Моделирование N-связных марковских процессов по заданной условной ПРВ перехода в принципе не отличается от моделирования рассмотренных выше одномерных (простейших) марковских процессов, однако получение N-связных дискретных реализаций с ростом N усложняется.

Другим обобщением одномерных марковских процессов являются одномерные марковские процессы N-го порядка, отличающиеся от простейших марковских процессов тем, что ПРВ перехода в очередное состояние зависит не от одного, а от N предшествующих состояний. Стохастическое уравнение х_i = φ(х_i-N, х_i-N+1, …, х_i-2, х_i-1, ξ_i) при соответствующих начальных условиях порождает марковский процесс N-го порядка, который можно рассматривать как компоненту N-связного марковского процесса, поэтому моделирование марковских процессов N-го порядка может быть сведено к моделированию N-связных марковских процессов.

Выше шла речь о моделировании марковских процессов общего вида: на характеристики процессов не накладывалось других ограничений, кроме указанных выше. Распространенными являются марковские процессы, которые удовлетворяют дополнительны условиям, чаще всего, условию нормальности распределения, стационарности (однородности), а также условию нормальности и стационарности одновременно. В этих случаях моделирование марковских процессов упрощается.

Действительно, у стационарных марковских СП ПРВ перехода вида

w(х_n, t_n׀х_n-1, t_n-1, …, х₁, t₁) = w(х_n, t_n׀х_n-1, t_n-1) = w₀(х_n, х_n-1, t_n, t_n-1),

w(х₁, _n,..., х_{N, n}, t_n׀х_{1, n-1}, …, х_{N, n-1,} t_n-1) = w₀(х_{1, n}, …, х_{N, n}, х_{1, n-1}, …, х_{N, n-1}, t_n, t_n-1)

зависит лишь от разности ∆t_n = t_n - t_n-1. Это упрощает процесс моделирования (в особенности для одномерных марковских процессов), так как уменьшается число аргументов функции w₀(х_n, х_n-1, t_n, t_n-1), которую требуется хранить в памяти ЭВМ при моделировании.

Как уже отмечалось, наиболее полное описание стационарных СП дает многомерная ПРВ. Однако этот подход требует большого количества информации. Для описания негауссовских СП используются различные преобразования гауссовских процессов и марковские процессы. Реальные СП можно с требуемой точностью аппроксимировать многомерными марковскими процессами [44]. Действительно [1, 38], любой СП, спектральная плотность которого является дробно-рациональной функцией частоты, является компонентой многомерного марковского процесса.