Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем

Рассматривается система нелинейных уравнений вида:

Метод Ляпунова представляет собой подбор функции Ляпунова, обладающей следующими свойствами:

1)Функция Ляпунова является положительно определенной на области значения фазовых координат

2)Для исследования устойчивости необходимо определить знак производной от функции Ляпунова.

1)

2)

Теорема Ляпунова:

Если для нелинейной ДС существует положительно определенная функция Ляпунова, производная от которой является отрицательной на области значений фазовых координат, то такая нелинейная ДС будет устойчива.

Если производная функции Ляпунова строго отрицательна, т.е. не имеет нулевых значений, то нелинейная динамическая система будет асимптотически устойчивой.

Геометрическая интерпретация:

Рассмотрим нелинейную ДС описываемую двумя фазовыми координатами, определяющие значение функции Ляпунова как квадрат расстояния до центра системы координат.

Пример1:

Пример2:

Пример3:

В соответствии с методом Ляпунова на интервале значений , где производная динамической системы будет устойчива. На интервале положительно определенная производная функции Ляпунова, динамическая система будет неустойчивой.