Дифференциальные операции векторного анализа

1. Скалярные и векторные поля.

Опр.:

1) - скалярное поле

2) - векторное поле

3) - поле форм

2. Связь между векторными полями и формами в

Утв.:

Если: - ориентированное евклидово пространство, - векторные поля,

То: полю соответствует линейная (билинейная) форма.

Док-во:

Утв.:

Задание в области ориентированного евклидова пространства дифференциальной формы эквивалентно заданию в этой области векторных полей и .

Док-во:

Замечание: в случае скалярного поля:

3. Дифференциальные операторы градиент, ротор и дифергенция.

Опр.:

Внешнему дифференцированию 0,1,2 – форм в ориентированном евклидовом пространстве отвечают операции нахождения градиента скалярного поля и нахождения ротора и дивергенции векторных полей, определённых соотношениями:

Запись в декартовых координатах

1.

2.

3.