Форма объёма

Опр.:

- ориентированное евклидово пространство со скалярным произведением.

-репер

Формой объёма на называется кососимметрическая -форма, которая на ортонормированном репере данного класса ориентации принимает значение единица.

Утв.:

Определение корректно J

Док-во:

-матрица перехода,

Утв.:

Значение формы объёма на наборе векторов - ориентированный объём параллелепипеда, натянутого на эти вектора.

Док-во:

Опр.:

-гладкая поверхность размерности

Пусть в касательном пространстве ориентация согласована с исходной ориентацией пространства , тогда форма объёма в называется формой объёма на поверхности .

Опр. 1:

Площадью поверхности называется

Замечание:

Площадь поверхности не зависит от ориентации, т.к. при изменении ориентации меняется и форма объёма.

Опр. 2:

Утв.: опр.1 эквивалентно опр.2.

Док-во:

Опр.:

Если -кусочно-гладкая поверхность, состоящая из гладких частей , пересекающихся по поверхностям размерности не выше, чем , то площадь = сумме площадей .