Циркуляция электрического поля неподвижных зарядов. Электрический потенциал

Рассуждения в параграфе 9.1. привели нас к тому, что формулы (9.2) и (9.4) для произвольного движения зарядов неверны. Однако формула (9.3) сохраняет свой смысл и позволяет найти результирующую силу, если мы сможем научиться независимо находить поле произвольной системы зарядов, пусть и простой. Так попадает в центр нашего внимания новый объект – электрическое поле системы зарядов. Предпримем усилия по обнаружению таких свойств постоянного поля , которые бы позволили дать определение произвольного электрического поля, заменяющее формулы (9.4).

Продолжая перенос на электрическое поле свойств силы воздействия на пробный заряд, вспомним, что в параграфе 2.4. нам удалось убедиться – между несвободной частицей и её окружением имеет место обратимый обмен энергией ((2.13), с. 34). Это позволяет интеграл (2.6) с учётом формулы (2.4) представить в виде:

; (9.5)

этот контурный интеграл есть предел суммы по всем элементам замкнутого контура (рис. 2.2, с. 33 контур z₁ ®z₂ ®z₁), взятого при условии, что элементы стремятся к нулю. Такой интеграл принято называть циркуляцией вектора силы .

Поскольку поля и , согласно (9.3), пропорциональны друг другу это означает, что работа по переносу единичного пробного заряда по замкнутому контуру также равна нулю. Иными словами, циркуляция электрического поля неподвижных зарядов может быть записана:

. ® . (9.6)

Другими словами, поле неподвижных зарядов – безвихревое, потенциальное. Его силовые линии не обладают тенденцией к «закрученности».

В параграфе 2.3, с. 31, было показано, затраченная работа определяет изменение потенциальной энергии частицы в пространстве, взятой с противоположным знаком. Рассуждая по аналогии, для потенциального электростатического поля , откуда следует:

; (9.7)

где – изменение потенциальной энергии единичного заряда в электростатическом поле на пути . Так появляется потенциальная характеристика электростатического поля j, связанная с его силовой характеристикой . Иными словами, потенциальная энергия единичного электрического заряда в данной точке поля может быть представлена в виде:

. (9.8)

Эту величину принято называть потенциалом данной точки электростатического поля; потенциал j – фи равен работе по перемещению пробного заряда из данной точки поля в другую, где электростатическое поле отсутствует (r ® ); очевидно, эта величина скалярная. По знаку зарядов два, исследуем поле посредством положительного пробного заряда, следовательно, потенциал поля может быть как положительным для (+ q) заряда, так и отрицательным для (– q) заряда. Единицей измерения потенциала является вольт (В); потенциал поля точечного заряда в один вольт показывает, какая работа должна быть совершена по перемещению единичного заряда (1 Кл) из этой точки поля в бесконечность (или наоборот), где Е = 0.

Разность потенциалов электростатического поля в точках и запишется через криволинейный интеграл:

, (9.9)

и не зависит от длины и формы пути.

Чтобы найти явное выражение для потенциала j (r), создаваемого системой зарядов q ₁ …, q _N, представленной на рис. 9.1., добавим, как это было сделано в параграфе 9.1, пробный заряд q _о и найдём энергию взаимодействия изолированной системы из (N+1) зарядов; при этом будем учитывать энергию взаимодействия заряда q _о только с N зарядами системы (см. рис. 9.1); взаимодействие между q ₁ …, q _N зарядами нет смысла рассматривать (?).

Уточним энергию взаимодействия между двумя зарядами q _o и q _i. Из формулы (2.5) с. 30, следует , а энергия изолированной системы зарядов запишется: , где U ^вз – потенциальная энергия воздействия системы зарядов q _i на пробный заряд q _о.

Теперь учтём, что результирующая потенциальная сила F (r), действующая на пробный заряд q _о со стороны системы зарядов q ₁ …, q _N, равна, формула (2.5): . С другой стороны, как мы выяснили ранее, формула (9.3): ; поскольку необходимо найти выражение для потенциала j, учтём выражение (9.7) для напряжённости и получаем уравнение вида: . Сократим левую и правую части уравнения на q _о, примем к сведению, что функции слева и справа равны, получим:

. (9.10)

Иначе говоря, электрический потенциал равен потенциальной энергии воздействия системы зарядов на единичный пробный заряд, расположенный в точке r. Кроме того, электрический потенциал, как и напряжённость электрического поля, подчиняется принципу суперпозиции для системы зарядов и равен алгебраической сумме электрических потенциалов j_i = k × q_i / r_i, создаваемых отдельными зарядами, т. е. j (r) = å j_i (r).

В заключение заметим, привлечение двухчастичного взаимодействия к изучению свойств электрического поля системы зарядов позволило, как и в механике, вычленить силовую характеристику поля – напряжённость (r) и потенциальную характеристику – потенциал j (r). В силу простоты свойств скалярного поля во многих случаях сначала вычисляют электрический потенциал j, а уж потом находят его силовую характеристику .