Случайные события и их характеристики

Случайное событие – это результат какого-либо одиночного опыта. Например, событием может быть выход из строя аппаратуры, появление того или иного сигнала, передача текста без ошибок, работа канала связи без повреждений не менее часов, превышение помехой заданного уровня и др. Всем этим и другим событиям может быть сопоставлена та или иная вероятность.

Так, требуемая вероятность устойчивой работы (надежность) телекоммуникационной сети должна составлять или соответственно: вероятность ее отказа или нарушения . Появление сигнала «1» при передаче бинарной информации осуществляется с вероятностью , такая же вероятность появления «0»: .

Для каждой из групп событий выполняется то свойство, что сумма вероятностей полной группы событий равна 1:

.

Таким образом, при определении вероятностей для группы событий необходимо определить всю их полную группу и сопоставить для каждого из событий ту или иную вероятность.

К характеристикам случайных событий относят их средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции.

Среднее вероятностное значение - событий вычисляется как взвешенная сумма этих событий:

.

Вероятности могут иметь различное значение для каждого из событий , однако они должны составлять полную группу событий, то есть .

На практике часто бывает, что , то есть все события равновероятны. В этом случае каждая из вероятностей , следовательно, будет справедливо выражение

.

Дисперсия случайных событий характеризует величину разброса этих событий относительно среднего:

.

Часто используется среднеквадратическое отклонение:

Степень вероятностной или статистической связи между зависимыми событиями и определяются коэффициентом корреляции

,

где - вероятность совместных событий, и соответственно: дополнения к единице вероятностей и , то есть , .

В задачах синтеза оптимальных правил приема сигналов используется формула Байеса

; ,

или ,

где - априорные вероятности; - условные вероятности события при гипотезах ; - апостериорные вероятности (произошло событие ); - вероятность события .

Так, если и - есть гипотезы о том, что одно из двух передавалось 0 или 1, то и являются безусловными вероятностями. После того, как осуществился прием (например, произошло событие , т.е. получен 0), получаем апостериорную вероятность и . В этом случае априорная и апостериорная вероятность связаны соотношением

.

Приведенные формулы носят также название теоремы гипотез, поскольку они используются в задачах проверки гипотез против альтернатив .

Пример. Определить апостериорные вероятности появления 1 и 0 при вероятностях перехода (условных вероятностях)

- вероятность правильного приема;

- вероятность ошибочного приема,

и априорных вероятностях появления символов .

Апостериорные вероятности определяем по теореме Байеса

;

,

,

,

.