Аналитический сигнал

В современных системах передачи информации применяются очень сложные виды сигналов. При анализе систем с такими сигналами возникает проблема их аналитического представления. В случае относительно узкополосного модулированного сигнала для этой цели разработан удобный математический аппарат.

Рис 2.8. Спектр узкополосного радиосигнала (а) и комплексной огибающей (б)

Узкополосным считается сигнал, все спектральные составляющие которого группируются в относительно узкой полосе частоты около центральной частоты w₀. Спектр узкополосного радиосигнала показан на рис.2.8,а.

Узкополосный сигнал можно представить в виде

,

где y(t) = w₀ t + j(t) – мгновенная фаза,

w₀ = 2p f ₀ – несущая частота,

U _м(t) и j(t) – огибающая и мгновенная начальная фаза, которые являются медленно меняющимися функциями по сравнению с сos(w₀ t).

Для многих сложных сигналов непосредственное определение функций U _м(t) и j(t) невозможно. Математический аппарат, основанный на преобразованиях Гильберта, позволяет сделать это, а так же значительно облегчает нахождение спектра и анализ прохождения сигнала через линейные цепи.

В теории сигналов комплексное представление сигнала получило дальнейшее развитие и распространено на негармонические колебания.

Пусть физический сигнал задан в виде действительной функции, тогда соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме

где - функция, комплексно сопряженная по Гильберту с сигналом (t).

Таким образом, пара преобразований Гильберта:

,

.

Определенная таким образом функция называется аналитическим сигналом, соответствующим физическому сигналу U _c(t).

В частности, можно легко доказать, что

,

.

Таким образом, представление гармонического сигнала в виде

соответствует преобразованию Гильберта.

В общем случае

,

- огибающая (всегда положительна, так как является модулем комплексной функции);

- фаза.

Разложение экспоненты

дает физический сигнал

,

- квадратуры сигнала U _c(t).

При анализе линейных систем и цепей можно рассматривать отдельно прохождение квадратур, что значительно облегчает задачу. Сигнал на выходе может быть восстановлен по его квадратурам при известной частоте w₀.