Модели сигнала в системе тригонометрических функций

Рассмотрим периодическую функцию произвольной формы (рис.2.2).

Из математического анализа известно, что любую периодическую функцию U _с(t), заданную в каждой точке интервала t ₁ £ t £ t ₁+ T и удовлетворяющую условиям Дирихле (функция однозначна, конечна, кусочно-непрерывна и имеет конечное число максимумов и минимумов) можно представить в виде ряда Фурье:

,

где ,

,

.

Таким образом, базисными функциями являются cos(W _it) и sin(W _it).

Ряд Фурье можно привести к виду

.

где U ₀ имеет смысл постоянной составляющей, U_i, W _i, j _i – соответственно амплитуда, угловая частота и начальная фаза i -й составляющей (i -й гармоники).

Эта формула имеет физический смысл и может быть использована в качестве алгоритма приближенного формирования U _с(t) при известных U ₀, U_i, W _i, j _i и ограниченном числе гармоник.

Амплитуда U_i и фаза j_i, связаны с коэффициентами a_i и b_i следующим образом

.

Совокупность амплитуд U_i и соответствующих им частот W_i образуют амплитудный спектр. Совокупность фаз j _i и соответствующих им частот W _i образуют фазовый спектр. Полностью сигнал описывается совместно амплитудным и фазовым спектрами.

Спектр сигнала удобно представлять графически, откладывая по оси ординат амплитуды или фазы гармоник, по оси абсцисс — их частоты.

Как следует из выражения для ряда Фурье в спектре периодической функции содержатся лишь гармоники с кратными частотами, такой спектр называют линейчатым.

Рассмотрим сигнал, состоящий из последовательности прямоугольных импульсов. Эпюра такого сигнала изображена на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов. Т _п - период следования, t - длительность импульса, U _м - амплитуда импульса.

Аналитическая запись последовательности импульсов:

,

uде - одиночный импульс.

Параметрами такого сигнала являются:

U _м – амплитуда импульса;

t - длительность импульса;

Т _п - период следования импульсов (период повторения);

F = 1/ Т _п - частота следования импульсов;

h= Т _п/t – скважность.

Периодическую последовательность прямоугольных импульсов можно разложить в ряд Фурье

.

Коэффициенты ряда в случае четной U _c(t)

;

так как U _c(t) - четная функция, sin(W _it) – нечетная, в результате подынтегральная функция — нечетная.

Вид специальной функции показан на рис. 2.4. Обратим внимание на то, что нулевые значения функции следуют с интервалом p.

Следует отметить что, при скважности h=2 амплитуды четных гармоник равны нулю. Амплитудный спектр при h=2 изображен на рис. 2.5. наряду с другими полезными примерами, показывающими связь амплитудного спектра с характеристиками импульсной последовательности.

На рис. 2.6 показана последовательность прямоугольных импульсов при h=2 и среднем значении U ₀ = 0. В спектре такой последовательности, отличны от нуля только нечетные гармоники (1-я, 3-я, 5-я и т.д.). Постоянная составляющая в спектре равна нулю. Здесь же показан результат суммирования 1-й, 3-й и 5-й гармоник, приближенно воспроизводящий форму импульсной последовательности (начальная фаза первой гармоники равна 0, фаза 3-й гармоники p, фаза 5-й гармоники равна 0).

)

Рис 2.6 Импульсная последовательность при U ₀=0 и результат суммирования трех гармоник (1-й, 3-й и 5-й)