Ортогональных проекций икосаэдра

(рис.14.18)

Определение 14.5. Система 20-ти конгруэнтных, конкурентных и равно-наклонённых друг к другу равносто-ронних треугольников называется по-верхностью икосаэдра.

Форма граней икосаэдра в виде равносторонних треугольников опреде-ляет изобразительные свойства его ор-тогональных проекций (рис.14.18).

Утверждение 14.7. Если прямая, соединяющая противоположные вер-шины поверхности икосаэдра, верти-кальна, то очерком её горизонталь-ной проекции является правильный 10-угольник с центрально-симметри-чным расположением вершин и сто-рон, очерк фронтальной проекции ск-ладывается из двух равнобоких тра-пеций, симметричных относительно их большого основания, совпадающего с вертикальной осью симметрии, а очерк профильной проекции формиру-ется проекционно как вид слева и является шестиугольником с двумя наклонными осям симметрии.

Cтруктурно икосаэдр представляет-ся состоящим из трёх объёмов: средне-

го, складчатого S, из 10 равносторон-них треугольников, двух конгруэнтных

Рис. 14.18. Графическая модель

поверхности икосаэдра

Рис.14.19. Графическая модель икосаэдра как результат соединения двух 5-граннх пирамид и 10-гранного прототипа гиперболоида вращения

пятигранных пирамид L и

D., основаниями которых служат правильные пятиу-

гольники верхнего и нижне-го оснований среднего объ-ёма, повёрнутые относите-льно друг друга на 36⁰.

Для заполнения очерков

проекций икосаэдра проек-циями элементов его линей-ного каркаса необходимо графически смоделировать ту пространственную конст-рукцию, элементом которой

является искомая поверх-ность икосаэдра.

Для заполнения очерка горизонталь-ной проекции следует одни вершины

очеркового 10-угольника через одну

соединить сплошными линиями, изо-бразив тем самым основание верхней пирамиды L, а пропущенные вершины очеркового 10-угольника соединить ли-ниями невидимого контура, изобразив тем самым основание нижней пирами-ды D.

Если на горизонтальной проекции икосаэдра продлить проекции компла-нарных рёбер среднего объёма до вза-имного пересечения, то полученные то-

чки явятся вершинами двух горизон-тальных конгруэнтных правильных пя- тиугольников а и b, повёрнутых относи-тельно друг друга на 36°.

10 звеньев пространственной лома-ной, соединяющие вершины этих пяти-угольников, распадаются на два семей-ства по 5 звеньев, которые в пределах одного семейства скрещиваются, а во взаимодействии с соответственными звеньями второго семейства,- пересе-каются. В результате рёбра скадчатой поверхности среднего объёма предста-вляются участками образующих много-гранного прототипа однополостного ги-перболоида вращения.

Характерно то обстоятельство, что соответственные рёбра верхней и ниж-ней пирамид при продолжении также проходят через вершины горизонталь-ных пятиугольников, формируя тем са-мым на гранях этих пирамид трёхгран-ные пирамиды с равнобедренными тре-угольными гранями. Отсюда следует, также, что эти продолжения рёбер определяют вторые полы верхней и нижней пирамид, основаниями которых являются горизонтальные пятиугольни-ки а и b. Эти особенности определяют характер заполнения очерка фронта-льной проекции икосаэдра проекциями её структурных элементов.

Очерк профильной проекции запол-няется проекциям её структурных эле-ментов по законам построения третьей проекции по двум заданным.

Так как грани верхней и нижней пи-

рамид не параллельны, то при продол-жении они пересекаются по замкнутой

пространственной 10-звенной ломаной

линии с, вершины которой являются

точками встречи ребер одной пирами-

ды с гранями второй и наоборот.

Рис. 14.20. Геометрическая модель

большого звёздчатого додекаэдра

Рис.14.21. Геометрическая модель большого додекаэдра

Рис.14.22. Графическая модель большого додекаэдра

Отсюда вытекает следующее

Утверждение 14.8. Поверхность

икосаэдра является результатом пе-ресечения поверхности 10-гранного прототипа однополостного гипербо-лоида вращения S, направляющими ко-торых являются конгруэнтные гори-зонтальные пятиугольники а и b, повернутые относительно друг друга на 36 °, с поверхностями верхней L и нижней D пирамид, основаниями кото-рых являются те же пятиугольники а иb (рис.14. 23).

Если говорить об икосаэдре как о геометрическом теле, то он является результатом соединения внутренних пространств, ограниченных поверхнос-тями двух пятигранных пирамид и 10-гранного прототипа однополостного ги-перболоида вращения, имеющих об-щие пятиугольные основания а и b.

Так как поверхность икосаэдра за-кономерна, то все её элементы позици-онно равноправны и поэтому осталь-ным её 10 вершинам соответствуют 10 пятиугольников, конгруэнтных вышерас-

смотренным, в своей совокупности об-

разующих поверхность большого звёзд-чатого додекаэдра (рис.14.20).

Рис.14.23. Геометрическая модель икосаэдра с его формообразующими структурными

элементами.

Вершинами большого звёздчатого додекаэдра являются вершины трех-гранных пирамид с равнобедренными треугольными гранями, основаниями которых служат грани исходного икоса-эдра. В итоге получается 20-лучевая звёздчатая форма икосаэдра, образо-ванная продолжением всех его рёбер до взаимного пересечения.

Если обратить внимание на то, что в структуре икосаэдра против его 12 вершин располагаются 12 пятиуго-льных оснований вышеупомянутых 5-гранных пирамид, то, взаимно пересе-каясь, эти основания образуют 10-гранные пирамиды, основаниями ко-торых служат пентаграммы. В итоге получается поверхность большого додекаэдра (рис.14.21, 14.22) как некая «антизвёздчатая» форма икосаэдра, на гранях которого построены трёх-гранные пирамиды с вершинами, при-надлежащими плоскостям пересекаю-щихся пятиугольников.

Все элементы поверхности ико-саэдра центрально-симметричны, оси симметрии отсутствуют, а присутству-ют 30 плоскостей симметрии, собран-ных в 6 пучков по 5 штук, осями кото-

рых служат прямые линии, проходя-щие через центрально-симметричные

Рис. 14.24. Преобразование додекаэдра Ф в икосаэдр S

Рис. 14.25. Преобразование икосаэдра Ф в додекаэдр S

Рис. 14.26. Геометрическая модель куба как изозоноэдра двух тетраэдров

Рис. 14.27. Графическая модель куба как изозоноэдра двух тетраэдров

вершины.

Метрические характеристики

икосаэдра

Число сторон граней - 3;

Число граней - 20;

Число рёбер - 30;

Число вершин - 12;

Площадь

поверхности ……………….5 а² Ö 3;

Объём……………..... 5а³/12 (3 + Ö 5);

Радиус описанной

сферы………... а / 4 (Ö 10 + 2 Ö 5);

Радиус вписанной

сферы………………… … а (3 + Ö 5 ).

4 Ö 3

Двугранный угол при ребре -- 140 °

Сравнение метрических характери-стик икосаэдра и додекаэдра указывает на то, что число граней додекаэдра равно числу вершин икосаэдра и на-

оборот, число граней икосаэдра равно числу вершин додекаэдра при одина-ковом количестве рёбер.

Поверхности, обладающие таким свойством, называются взаимными.

Свойство взаимности икосаэдра и додекаэдра позволяет производить вза-имные преобразования одних поверх-ностей в другие. Для этого достаточно центры граней одних поверхностей принимать за вершины других, им вза-имных поверхностей (рис.14. 24, 14.25).

14.1.6. Изобразительные свойства ортогональных проекций изозоно-эдров взаимных платоновых тел.

Свойство взаимности поверхностей платоновых тел является основанием для конструирования своего рода пра-вильных многогранников, все грани ко-торых являются конгруэнтными ромба-ми c конгруэнтными двугранными угла-ми при конгруэнтных рёбрах. При этом диагоналями ромбовых граней являют-ся рёбра пар соответственных плато-новых тел: двух тетраэдров, гексаэдра и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра, приведенных в отношение пересекае-

мости в их серединах. Такие многогран-

ники называются изозоноэдрами этих платоновых тел (см. рис. 5.31).

1. Если в гранях куба провести диа--гонали, то они явятся рёбрами двух кон-

груэнтных тетраэдров, которые, пере-секаясь, образуют звёздчатый окта-эдр или звезду Кеплера (рис. 14.26). Октаэдр потому, что диагонали граней куба, пересекаясь, определяют его вер-шины, а грани двух тетраэдров, пересе-каясь, определяют его рёбра. Звёзд-чатый потому, что полудиагонали гра-ней куба образуют на его гранях конгру-энтные тетраэдры.

Изобразительной особенностью ор-тогональных проекций изозоноэдра двух тетраэдров является их конгруэнт-ность (рис.14.27). Они представляют собой квадраты как частные случаи ро-мбов, в которых диагонали и прямые линии, соединяющие середины их сто-рон, изображают рёбра звезды Кепле-ра.

2. Если рёбра октаэдра, взаимного данному кубу, перевести подобным преобразованием из его центра в кон-курентное положение с рёбрами куба в их серединах, то образуется 12-гран-ный изозоноэдр куба и октаэдра с ром-бовыми гранями, у которых малые диа-гонали являются рёбрами исходного куба, а большие – рёбрами подобно преобразованного и взаимного кубу ок-таэдра (см. рис. 5.27, б).

Рис. 14.28. Графическая модель изозоноэдра

куба и октаэдра и его ромбовая грань.

Изобразительной особенностью ор-тогональных проекций изозоноэдра ку-

ба и октаэдра является их конгру-энтность (рис.14.28).Они представляют собой квадраты, диагонали которых за-

нимают проецирующие положения.

Рис.14.29. Графическая модель изозо-ноэдра додэкаэдра и икосаэдра и его ромбовая грань

а б

Рис.14.30. Возможные складки ромбовых граней изозоноэдров:

а – перегибанием по малой диагонали;

б – перегибанием по большой диагонали

Рис. 14.31. Графическая модель склад-чатой формы двух взаимных тетраэд-ров на основе их изозоноэдра – куба.

Прямые линии, соединяющие середины их сторон, вместе с диагоналями изображают ромбо-вые грани иззоноэдров в виде квадратов.

3. Если рёбра икосаэдра, вза-

имного данному додекаэдру, пе-ревести подобным преобразова-ниеми из его центра в конку-рентное положение с ребрами додекаэдра в их серединах, то образуется 30-гранный изозоно-эдр икосэдра и додекаэдра с ромбовыми гранями, у которых малые диагонали являются рёб-рами исходного додекаэдра, а большие – рёбрами подобно преобра-зованного и взаимного данному доде-каэдру икосаэдра (см. рис. 5. 27, в).

Исходным условием для построе-ния ортогональных проекций такого изозоноэдра служит трёхкартинный ко-мплексный чертёж додекаэдра (см. рис. 14.12).

Очерком горизонтальной проекции искомого изозоноэдра является прави-льный 10-угольник, тождественный очерку горизонтальной проекции данно-го додекаэдра.

Если из профильной проекции О₃ центра О спроецировать профильную проекцию ребра икосаэдра, соединяю-щего центры граней додекаэдра, прохо-дящих через профильно-проецирую-щее невидимое ребро его нижнего ос-нования, на плоскость, равнонаклонён-ную к этим граням и проходящим через это ребро, то длина полученной проек-ции будет равна большой диагонали искомой ромбовой грани при длине её-малой диагонали, равной длине ребра исходного додекаэдра.

Очерком профильной проекции ис-комого изозоноэдра является непра-вильный 8-угольник с двумя взаимно-перпендикулярными наклонными осями симметрии.

Очерком фронтальной проекции искомого изозоноэдра является непра-вильный 10-угольник с одной верти-кальной осью симметрии.

Заполнение очерков проекциями

линейного каркаса следует произво-дить последовательно по всем трём проекциям помня о том, что диагонали искомых ромбовых граней в натуре вза-имно-перпендикулярны и делят друг друга пополам, а проекции их противо-положных сторон равны и параллель-ны. (На рис.14.29 профильная проек-ция показывает только видимые грани).

14.1.7. Изобразительные свойства ортогональных проекций складча-тых форм платоновых тел

Ромбовые грани поверхностей изо-зоноэдров взаимных платоновых тел примечательны тем, что они содержат две возможные пары треугольников с общими основаниями -- их диагоналя-ми Перегибая ромб по малой или боль-шой диагонали, получаем складки, со-стоящие из двух равнобедренных и со-ответственно остро и тупоугольных тре-угольников (рис.14.30, а, б).

Так как диагонали ромбовых граней суть рёбра поверхностей взаимных платоновых тел, то та диагональ, по ко-торой эта грань перегибается, остаётся метрически неизменной, а та, половины которой превращаются в высоты рав-нобедренных треугольников получае-мой складки, изменяет свою метрику «по воле проектировщика». В результа-те получается, что на каждой треу-гольной, квадратной или пятиугольной грани правильного многогранника вы-растает трёх, четырёх или пятигранная правильная пирамида с треугольными равнобедренными гранями той или иной высоты. При этом высоты этих пи-рамид могут быть направлены как во-вне, так и вовнутрь данного многогран-ника (см. рис.5.28, а – г, 5.29). В резуль-

Рис.14.32. Геометрическая модель складчатой формы двух взаимных тетраэдров на основе их изозоноэдра - куба

Рис. 15.33. Графическая модель одной из складчатых форм куба

Рис.15.34. Графическая модель антискладчатой формы куба

тате получаем их складчатые формы различных метрических параметров. Познавательный интерес представля-ют изобразительные свойства их ор-тогональных проекций.

1. Поверхность куба представляет собой изозоноэдр двух взаимных и кон-груэнтных тетраэдров, а его квадрат-ные грани являются частным случаем ромбов;

Так как диагонали квадратных гра-ней куба как рёбра взаимных и пере-секающихся тетраэдров, конгруэнтны, то и конгруэнтные пирамиды принятой высоты, построенные на гранях этих те-траэдров, также будут пересекаться, образуя складчатую форму двух вза-имных тетраэдров на основе их изозо-ноэдра – куба (рис.14.32).

Изобразительным свойством её ор-тогональных проекций является их кон-груэнтность и симметричность каждой проекции относительно 4-х осей (рис. 14.31);

2. У изозоноэдра куба и октаэдра диагонали ромбовых граней неконгру-энтны. Поэтому на его основе можно конструировать складчатые формы ка-ждого из взаимных платоновых тел.

Перегибание ромбовые граней это- го изозоноэдра по малым диагоналям – рёбрам куба приводит к образованию складчатой формы куба, на гранях кото-рого возникают четырёхгранные пира-миды заданной высоты(см. рис.5.28, а).

Перегибание его ромбовых граней по большим диагоналям – рёбрам окта-эдра, приводит к образованию складча-той формы октаэдра, на гранях которо-го возникают трёхгранные пирамида заданной высоты (см. рис.5.28, б).

Изобразительной особенностью ор-тогонального чертежа складчатой фор-мы куба является конгруэнтность её проекций, имеющих по две оси симмет-рии (рис.14.33).

Если за вершины пирамид, постро-енных на гранях куба, принять центры противолежащих им граней, то их пове-рхности, пересекаясь, образуют некото-рую антискладчатую форму куба (см. рис. 5.29).

Изобразительной особенностью ор-тогонального чертежа такой формы ку-ба является конгруэнтность её проек-

ций, каждая из которых имеет по 4 оси

симметрии (рис.14.34).

В отличие от чертежа складчатой формы куба двухкартинный ортогона-льный чертёж складчатой формы окта-эдра состоит из неконгруэнтных проек-ций (рис.14.35). Её горизонтальная про-екция симметрична относительно 4-х осей, а фронтальная - относительно 2х.

3. У изозоноэдра додекаэдра и ико-

саэдра диагонали ромбовых граней не-

Рис. 15. 35. Графическая модель одной из складчатых форм октаэдра

конгруэнтны. Поэтому на его основе мо-жно конструировать складчатые фор-

мы каждого из взаимных платоновых

тел.

Перегибание ромбовых граней это-го изозоноэдра по малым диагоналям – рёбрам додекаэдра, приводит к образо-ванию складчатой формы додекаэдра, на гранях которого возникают пятигран-ные пирамиды заданной высоты (см. рис. 5.28,. в).

Перегибание его ромбовых граней по большим диагоналям – ребрам ико-саэдра приводит к образованию склад-чатой формы икосаэдра, на гранях ко-торого возникают трёхгранные пирами-ды заданной высоты (см. рис. 5.28, г).

Ортогональные проекции складча-той формы додекаэдра обладают сле-дующими изобразительными свойства-ми:

а) горизонтальная проекция имеет

Рис. 14.36. Графическая модель одной

из складчатых форм додекаэдра

Рис. 14.37. Графическая модель одной

из складчатых форм икосаэдра

5 осей симметрии;

б) фронтальная про-екция симметрична от-носительно одной вер-

тикальной оси;

в) профильная про-екция симметрична от-носительно двух взаим-

но-перпендикулярных и наклонных осей (см.рис. 14.36).

Для того, чтобы графически построить проекции пятигранных пирамид одинаковой вы-соты на гранях додека-эдра, необходимо:

а) изобразить на

проекциях граней про-еции точек пересече-ния их высот, для чего достаточно со-единить две любые вершины грани с серединами противолежащих им сто-рон;

б) из проекций центра додекаэдра провести проекции лучей, перпендику-лярных к его граням в точках пересе-

чения их высот. Эти лучи образуют связку с центром о, на проекциях кото-рых следует изобразить проекции вер-

шин пятигранных пирамид, удаленных от их оснований-граней на постоянное расстояние h;

в) построение следует начинать с

изображения тех пира-мид высоты h, у кото-рых основаниями слу-жат грани додекаэдра, занимающие в простра- нстве частные положе- ния. Анализ показыва-ет, что у данного доде- каэдра верхняя и ниж-

няя грани являются го- ризонтальными плоскос-

тями уровня, а грани, пересекающиеся с ними по профильно-проеци-рующим рёбрам, – про-фильно-проецирующи-ми.

г) отложив высоту h от вырожден-ных в прямые линии проекций прое-цирующих граней по проекциям перпен-

дикуляров к ним, получаем проекции

вершин стоящих на этих гранях пира-мид;

д) соединив полученные проекции вершин с проекциями вершин граней-оснований, получаем проекции 4 -х пи-рамид, у которых высоты h являются профильными линиями уровня;

е) заполнение всех ортогональных проекций искомой поверхности произ-водится на основе чёткого понимания особенностей её пространственной структуры, что определяет позицион-ные свойства соответственных проек-ций вершин и рёбер правильных пяти-гранных пирамид, основаниями кото-рых являются грани додекаэдра, зани-мающие общие положения.

К числу изобразительных свойств ортогональных проекций складчатой формы икосаэдра относятся следую-щие:

а) горизонтальная проекция имеет 5 осей симметрии;

б) фронтальная проекция симмет-рична относительно вертикальной оси;

в) профильная проекция централь-но-симметрична (рис. 14.37);

Для того, чтобы графически постро-ить проекции трёхгранных пирамид одинаковой высоты на гранях икосаэд-ра, необходимо:

а) изобразить на проекциях граней проекции точек пересечения их высот, для чего достаточно соединить две лю-бые вершины каждой грани с середина-ми противолежащих им сторон;

б) из проекций центра икосаэдра провести проекции лучей, перпендику-лярных к его граням в точках пересе-чения их высот. Эти лучи образуют свя-зку с центром о, на которых следует изобразить проекции вершин трёхгран-ных пирамид, удалённых от их основа-ний на постоянное расстояние h;

в) построения следует начинать с изображения тех пирамид высоты h, у которых основаниями служат 4 профи-льно-проецирующие грани, попарно пе-ресекающиеся по двум профильно-про-ецирующим рёбрам.

г) отложив высоту h от вырожден-ных в прямые линии профильно-прое-цирующих граней по проекциям перпен-дикуляров к ним, получаем профиль-ные проекции вершин пирамид, стоя-

Рис.14.38. Графическая модель

складчатой формы икосаэдра, полученной устранением его горизонтальных рёбер

Рис. 14.39. Графическая модель склад-чатой формы икосадра, полученной устранением половины наклонных рёбер его средней части

щих на этих гранях.

д) соединив проекции этих вершин с проекциями вершин граней-основа-ний, получаем профильные проекции 4 пирамид, у которых высоты h являются профильными линиями уровня;

е) заполнение всех ортогональных проекций искомой поверхности произ-водится на основе чёткого понимания особенностей пространственной струк-туры икосаэдра, что определяет пози-ционные свойства проекций остальных пирамид, основаниями которых служат грани икосаэдра, занимающие в прост-

ранстве общие положения.

Рассмотрение конструктивных осо-бенностей линейного каркаса икосаэдра

приводит к мысли, что он является си-