Общие замечания. Свойства ортогональных проекций платоновых тел и их изозоноэдров

МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Свойства ортогональных проекций платоновых тел и их изозоноэдров

Общие замечания

Если картинное пространство за-полнить ортогональными проекциями многогранных поверхностей, то пред-метом исследования его геометрии бу-дет аксиоматическое описание их кон-структивно-композиционных и метри-ческих или изобразительных свойств.

Рассмотрение природы этих пове-рхностей (см. Главу 5, рис. 5.26 – 5.36)

определяет их как геометрических си-стем конкурентных прямых линий-рё-бер и определяемых ими плоских фи-гур-граней со структурами различной сложности.

Большое разнообразие многогран-ных поверхностей определяется разно-образием различных идей их формооб-разования. Первой из таких идей была мысль Платона описать структуру и свойства поверхностей правильных многогранников, впоследствии назван-ных платоновыми телами (см. Опреде-ление 5.11). Этих поверхностей всего 5, но они являются основой для констру-ирования иных поверхностей, предста-вляющих как теоретический, так и прак-тический интерес.

Так как в основе любого конструи-рования лежит графическое моделиро-вание понятной геометрической идеи, то получаемые в его итоге графические конструкции, содержащие информацию о свойствах изображенной поверхнос-ти, являются предметом аксиматичес-кого описания.

14.1.1. Изобразительные свойства ортогональных проекций тетраэдра (рис. 14.1).

Определение 14.1. Система 4-х конгруэнтных, конкурентных и равно-наклонённых друг к другу равносто-ронних треугольников называется по--верхностью тетраэдра.

Форма равносторонних треугольных

граней поверхности тетраэдра опреде-

ляет изобразительные свойства её ор-тогональных проекций.

Утверждение 14.1. Если одна из граней поверхности тетраэдра явля-ется горизонтальной плоскостью уровня с одним профильно-проециру-ющим ребром, то очерком её гори-зонтальной проекции будет равно-сторонний, а фронтальной и профиль-ной, - равнобедренные, но неконгру-энтные треугольники.

Построение следует начинать с го-ризонтальной проекции. Построения прежде профильной, а затем фронта-льной проекции понятны из рис. 14.1.

Поверхность тетраэдра имеет один центр симметрии в пересечении его высот, 4 оси симметрии, совпадающие с его высотами и 4 плоскости сим-метрии, попарно определяемые этими осями.

Метрические характеристики

тетраэдра

Число сторон граней - 3;

Число граней - 4;

Число рёбер - 6;

Число вершин - 4;

Площадь поверхности -F» a ² Ö 3;

Объём - V» a³ / 12 Ö 6;

Радиус описанной сферы - а/ 4 Ö 6;

Радиус вписанной сферы а /12 Ö 6;

Двугранный угол при ребре - 64 °

14.1.2. Изобразительные свойства

ортогональных проекций гексаэдра (куба) (рис. 14. 2)

Определение 14.2. Система 6-ти конгруэнтных, конкурентных и взаим-но-перпендикулярных квадратов явля-ется поверхностью гексаэдра (куба).

Квадратная форма граней гексаэд-ра определяет изобразительные свой-ства его ортогональных проекций.

Утверждение 14.2. Если грани гек-саэдра соответственно параллельны плоскостям проекций, то очерками его ортогональных проекций являют-ся конгруэнтные квадраты.

Для построения ортогональных проекций куба в иных положениях в пространстве следует соответственно преобразовать его исходные проекции

(рис. 14.3)

Рис. 14.4. 3 оси и 9 плоскостей

симметрии поверхности гексаэдра.

Рис.14.5. Кубический узел деревянной

конструкции пространственного

каркаса

Рис.15.6. Графическая модель октаэдра, рёбра которого являются линиями уровня

Утверждение 14.3. Очерком орто-

гональной проекции куба на плоскость,

перпендикулярную к его диагонали, яв-

ляется правильный шестиугольник,

с диагоналями которого совпадают проекции его остальных шести рёбер.

Поверхность куба имеет один центр симметрии в пересечении его диагона-лей, 3 оси симметрии, проходящие че-рез точки пересечения диагоналей про-тивоположных граней, и 9 плоскостей симметрии, из которых шесть,-диаго-нальные и три,- попарно определяемые осями симметрии.(рис. 14.4)

Так как поверхность куба конструк-тивно формируется тремя парами па-раллельных граней, то, придав им опре-делённую толщину и продлив их за пределы поверхности, получаем куби-ческий узел трёх пар взаимно-перпен-дикулярных элементов некоторого про-странственного каркаса (рис.14.5).

Для замкового соединения в этот узел в каждом из парных элементов следует с двух сторон сделать вырезы, глубина а которых равна толщине эле-мента, а длина короче его ширины b на значение двух толщин а.

Если полученные парные элементы дополнить ещё тремя парами парал-лельных вставок, то получаем их жест-кие коробчатые сечения, способные вы-держивать большие нагрузки.

Метрические характеристики

гексаэдра (куба)

Число сторон граней - 4;

Число граней - 6;

Число рёбер - 12;

Число вершин - 8;

Площадь поверхности - 6 а ²;

Объём - а ³;

Радиус описанной сферы - а/ 2 Ö 3;

Радиус вписанной сферы - а / 2;

Двугранный угол при ребре - 90 °;

14.1.3. Изобразительные свойства