Пример 1.Найти область определения функции

Решение. Область определения заданной функции состоит из тех значений , при которых оба слагаемых принимают действительные значения. Для этого должны выполняться два условия:

Решим данную систему:

.

Итак, .

Пример 2. Найти множество значений функций.

а) ; б) :

Решение. а) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты верщины параболы , . Поэтому множество значений функции .

б) Так как , то . А далее последовательно получим , или , или . Окончательно получим .

Пример 3. Выяснить является ли функция четной или нечетной:

а) ; б) .

Решение. а) Найдем

.

Так как , то по определению данная функция является нечетной.

б) Найдем

.

Так как и , то по определению данная функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Пример 4. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует.

а) ; б) .

Решение. а) Наименьшим положительным периодом функции является число . Покажем, что наименьший положительный период – число .

Действительно, , т.е. – период данной функции. С другой стороны, если – какой-либо другой период этой функции, то для всех , т.е. , . Отсюда следует, что – период функции , где , и, значит, , т.е. .

Таким образом, – наименьший положительный период функции .

б) Поскольку , то период данной функции совпадает с периодом функции . Рассуждая, как в пункте а), легко показать, что наименьший положительный период функции равен . Таким образом, наименьший положительный период функции равен .

Пример 5. Построить графики данных функций, исходя из основных элементарных функций:

а) ; б) .

Решение. а) В качестве исходного возьмем график функции . Построение графика функции разобьем на три этапа:

1. – известная элементарная функция;

2. – сдвигаем вправо по оси график функции на единиц;

3. – растягиваем вдоль оси относительно оси в 3 раза.

На рис. 1 изображены последовательные преобразования, приводящие к построению искомого графика.

б) В качестве исходного возьмем график функции . Построение графика функции разобьем на 4 этапа:

1. – известная элементарная функция;

2. – стираем часть графика функции , лежащую слева от оси ; оставляем часть графика , лежащую справа от оси ; часть графика функции , расположенную в области , симметрично отобразить относительно оси в область

3. – сдвигаем вправо по оси график функции на 2 единицы;

4. –сжатие вдоль оси в 6 раз.

На рис. 2 изображены последовательные преобразования, приводящие к построению искомого графика.

Задания для самостоятельной работы

n 14. Найти область определения функции. Найти , , и .

а);	б);
в);	г);
д);	е);
ж);	з);
и) ;	к).

n 15. Найти множество значений функции.

а);	б);
в);	г);
д);	е);
ж);	з);
и) ;	к).

n 16. Выяснить является ли функция четной или нечетной.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 17. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 18. Построить графики данных функций.