Примеры решения типовых задач. Пример 1.Доказать, что число иррационально

Пример 1. Доказать, что число иррационально.

Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что число рационально. Тогда число также является рациональным, как частное двух рациональных чисел. Поэтому число также является рациональным, что противоречит иррациональности числа . Значит, наше предположение неверно. Число иррационально.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:

1. Находим критические точки, т.е. значения переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль:

;

.

2. Разбиваем область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак. На каждом из найденных промежутков решаем уравнение без знака модуля.

а) , , , – ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.

б) , , , , не входит в рассматриваемый промежуток.

в) , , , – верно. Таким образом, равенство выполняется при всех из рассматриваемого промежутка.

Итак, .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Неравенство равносильно следующей совокупности систем:

Решая которую, находим последовательно:

Откуда , , . Объединяя найденные решения, получим . Итак, .

Задания для самостоятельной работы

n 1. Представить обыкновенные дроби в виде десятичных.

а) ;	б) ;	в) ;	г) ;	д) ;
е) ;	ж) ;	з) ;	и) ;	к) .

n 2. Представить десятичные дроби в виде обыкновенных.

а) ;	б) ;	в) ;	г) ;	д) ;
е) ;	ж) ;	з) ;	и) ;	к) .

n 3. Доказать, что не существует рационального числа, такого, что .

n 4. Доказать, что не существует рационального числа, такого, что .

n 5. Доказать, что не существует рационального числа, такого, что .

n 6. Доказать, что не существует рационального числа, такого, что .

n 7. Доказать, что сумма рационального числа и иррационального есть число иррациональное.

n 8. Указать два иррациональных числа, сумма которых рациональна.

n 9. Указать два иррациональных числа, разность которых рациональна.

n 10. Указать два иррациональных числа, произведение которых рационально.

n 11. Решить уравнения.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 12. Решить неравенства.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 13. Ответьте на следующие вопросы о множестве :

1. Является ли оно ограниченным сверху?

2. Является ли оно ограниченным снизу?

3. Является ли оно ограниченным?

4. Существует ли точная верхняя граница для данного множества? Если да, то найти ее.

5. Существует ли точная нижняя граница для данного множества? Если да, то найти ее.