Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Составим дифференциальное уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника (рис. 3.2) (m - масса маятника, k - коэффициент упругости пружины). Сила, действующая на тело, закрепленное на пружине, находится по закону Гука (см. (1.20)). Эта сила направлена против смещения
где k - коэффициент упругости, x - смещение тела от положения равновесия.
Рис.3.2
Уравнением движения тела будет II закон Ньютона (1.22)
,
где - результирующая сила равна силе упругости;
- ускорение тела (см. формулу (1.8));
- скорость тела (см. формулу (1.5)).
Производная по времени обозначается точкой сверху.
Тогда ускорение тела равно второй производной от координаты по времени
.
Подставим выражения для силы упругости и для ускорения в формулу II-го закона Ньютона и получим
.
Преобразуем это уравнение
Введем обозначение
где - частота собственных незатухающих колебаний.
Собственными колебаниями называются колебания, которые совершает система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе. Собственные колебания бывают незатухающими и затухающими. В нашем примере мы рассматриваем незатухающие колебания. С учетом обозначений получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет такой же вид для любых других величин, изменяющихся по гармоническому закону.
С точки зрения математики уравнение (3.8) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его находится, например, путем подбора функции, которая обращает дифференциальное уравнение в тождество. Решение уравнения (3.8) представляет собой уравнение гармонических колебаний
или
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 2960 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!