Методика и примеры решения задач. Решение задач кинематики простейших движений твердого тела осуществляют с применением вышеприведенных формул

Решение задач кинематики простейших движений твердого тела осуществляют с применением вышеприведенных формул.

Пример 4

Механизм лебедки, показанный на рис. 13, перемещает груз благодаря вращению шкива радиусом, который с помощью передачи паса связан с шкивом, радиус которого С этим шкивом жестко связана шестерня, которая сцеплена с шестерней, насаженной на вал барабана радиусом. Определить в момент времени скорость и ускорение точки барабана, а также высоту подъема груза за это время, если шкив вращается за законом, а количество зубцов шестерен и.

Решение

Найдем угловую скорость и угловое ускорение шкива 1.

Рисунок 13

Поскольку ремень, который соединяет шкивы 1 и 2 нерастяжимый, то скорость точки шкива 2 равняется скорости точки, которая лежит на ободе шкива, то есть, откуда определим угловую скорость колеса :

.

Угловое ускорение колеса

.

Скорость точки касания зубчатых колес 2 и 3

,

откуда

.

Следовательно, угловые скорости вращения обратно пропорциональны радиусам или количеству зубцов:

.

Аналогичная зависимость между угловыми ускорениями:

.

В момент времени имеем .

Определим модули скорости, касательного, нормального и полного ускорения точки .

В момент времени, имеем:

м/с2 .

Так как скорость груза равняется скорости точки , то закон поступательного движения найдем, интегрируя выражение скорости

.

Приняв начало отсчета оси х в начальном положении груза, когда, получим , и за время груз поднимется на высоту

Пример 5

Ускорение точки диска, который вращается вокруг неподвижной оси (рис. 14). Определить угловую скорость этого диска и скорость точки, если радиус диска, а угол наклона полного ускорения точки к нормали .

Рисунок 14

Решение

Поскольку угол между вектором полного ускорения точки и вектором ее нормального ускорения известен, то ускорение

.

Нормальное ускорение точки при вращательном движении связано с угловой скоростью тела зависимостью . Откуда

.

Скорость точки :

.