Случаи внешнего и внутреннего касания

Даны окружности радиусами r₁ и r₂ с центрами О₁ и О₂ (рис. 2.9, б). Требуется провести окружность данного радиуса R так, чтобы она имела с одной из данных окружностей внутреннее касание, а с другой – внешнее. Центр искомой дуги находится в точке пересечения двух дуг, описанных из центра О₁ радиусом R – r₁ и из центра О₂ – радиусом R + r₂; К и К₁ – точки касания.

2.1.8 Проведение касательной к окружности через заданную
точку, лежащую вне окружности

Данную точку А соединяют с центром окружности О и из точки А через центр О очерчивают вспомогательную окружность. В точках пересе­чения вспомогательной и данной окружностей получают точки касания К и К₁; остаётся точку А соединить с этими точками (рис. 2.10).

Рисунок 2.10

2.1.9 Построение общей касательной к двум данным окружностям радиусов R₁ и R₂

Из средней точки прямой ОО₁ через центр О₁ строится вспомогательная окружность. Из центра большой окружности радиуса R₁ проводится вторая вспомогательная окружность радиусом R₁ – R ₂. Точка пересечения этих окружностей В определяет направление радиуса О₁К₁, идущего в точку касания. Для получения точки касания К₂ на второй окружности достаточно провести из центра О₂ радиус О₂К₂ параллельно радиусу О₁К_1, остается соединить найденные точки касания прямой линией (рис. 2.11).

Рисунок 2.11

Касательные к данным окружностям можно провести так же, как показано на рис. 2.12. В этом случае из центра большой окружности проводят вспомогательную окружность радиусом равным сумме радиусов данных окружностей, т. е. R₁ + R ₂.

Рисунок 2.12