Для решения задач гидродинамики

В теории комплексной переменной связь между функциями и называется условиями Коши-Римана.

При этом комплексная величина является комплексной переменной , равной (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Определение комплексной переменной и

Таким образом, существует функция комплексной переменной , вещественная и мнимая части которой будут и , т.е.

. (6.10)

Функция называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.

Производная не зависит от направления дифференцирования (условие аналитичности) и полностью определяется положением точки в плоскости , заданной координатой z, т.е.

(6.11)

или

; (6.12)

. (6.13)

С учетом условий и получим

(6.14)

Величина и направление скорости в комплексной плоскости (рис. 6.2) определится формулой

. (6.15)

Производная от комплексного потенциала по координате равна скорости по абсолютной величине, а по направлению совпадает с зеркальным отображением вектора скорости относительно вещественной оси.

Величина называется сопряженной скоростью.

Плоскость является плоскостью годографа скорости.

Значение контурного интеграла равно

(6.16)

но

, (6.17)

а

. (6.18)

Здесь – циркуляция скорости по замкнутому контуру; – объемный расход через замкнутый контур.

Для действительной части получим

, (6.19)

а для мнимой

. (6.20)

Можно поставить две задачи:

1) по заданному комплексному потенциалу найти , и поле скоростей;

2) зная контур обтекаемого тела и значение скорости на бесконечности, найти комплексный потенциал.