Обобщенно-гармонический ряд

РЯДЫ

Пусть задана последовательность чисел u ₁, u ₂,..., u_n,.....

Тогда выражение вида называется числовым рядом.

u ₁, u ₂,... – члены ряда; u_n – общий член ряда.

пример.

Общий член ряда .

n ^ой частичной суммой называется сумма первых n-членов

Рассмотрим последовательность частичных сумм

Ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм имеет конечный предел , причем S – сумма ряда.

Если предел частичных сумм не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

пример 1. Задан ряд 1–1+1–1+1–1+.....

S ₁ = 1; S ₂ = 1–1 = 0; S ₃ = 1.

, следовательно ряд расходится.

пример 2. Задан ряд 1+2+3+.....

S ₁ = 1; S ₂ = 3; S ₃ = 6.

, следовательно ряд расходится.

пример 3. Рассмотрим геометрическую прогрессию: a + aq + aq ² +... + aqⁿ +.....

1) Если | q | < 1

ряд сходится.

2) Если | q | > 1,

ряд расходится.

3) Если q = ±1,

q = 1. a + a + a +.....; S ₁ = a; S ₂ = 2 a; S ₃ = 3 a.....

ряд расходится.

q = –1. a – a + a – a +.....; S ₁ = a; S ₂ = 0; S ₃ = a.....

ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда:

Если знакоположительный ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Доказательство

Следствие:

Если предел u_n не равен нулю , то ряд расходится.

пример.

Необходимое условие не выполняется, следовательно ряд расходится.

Если то ряд может сходится, может расходится.

пример. Рассмотрим гармонический ряд

необходимое условие выполняется.

Докажем, что ряд расходится.

Группируем так, что группы заканчиваются на степень двойки в знаменателе.

S_n – частичные суммы гармонического ряда.

σ _n – частичная сумма полученного ряда

Следовательно, расходится.

пример.

Необходимо доказать, что ряд сходится и найти его сумму.

Разложим u_n на простейшие дроби.

Так как знаменатели полученных дробей равны, то равны и числители.

Свойства сходящихся рядов

1) На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Доказательство

.

c_k – сумма отброшенных членов. Она конечна.

– сумма без отброшенных членов.

1) Пусть ряд сходится, т.е. следовательно конечно, следовательно ряд, полученный отбрасыванием членов сходится.

2) Пусть ряд расходится

Предел σ таким образом не существует или равен бесконечности, следовательно ряд расходится.

3) Если ряд сходится, причем его сумма равна S, то сходится, его сумма соответственно равна с · S.

4) Сумма или разность сходящихся рядов есть сходящийся ряд.

5) Произведение рядов.

Произведение двух сходящихся знакоположительных рядов, есть ряд сходящийся.

Достаточные признаки сходимости

1. Интегральный признак Коши.

Пусть u ₁ > u ₂ > u ₃ >....., причем существует такая неотрицательная, невозрастающая функция f (x), что f (1) = u ₁, f (2) = u ₂,..., f (n) = u_n... Тогда ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

Доказательство

Если интеграл сходится, то и ряд сходится. Таким образом, интегральный признак Коши доказан.

пример. Исследовать ряд на сходимость: .

Решение

Следовательно, интеграл сходится, следовательно и ряд сходится по интегральному признаку Коши.

Обобщенно-гармонический ряд

Исследуем интеграл, чтобы понять, что происходит при α ≠ 0.

1) 1 – α < 0, α > 1.

1 – α = – m, m > 0.

Таким образом интеграл сходится, и по интегральному признаку Коши ряд сходится.

2) 1 – α > 0, α < 1.

Значит интеграл расходится, т.е. по интегральному признаку Коши ряд расходится.

Итак, обобщенно – гармонический ряд:

Признак сравнения

Если для знакоположительных рядов

выполняется условие , то

1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), т.е. из сходимости большего следует сходимость меньшего.

2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. из расходимости меньшего следует расходимость большего.

Доказательство

Рассмотрим два случая.

1)

Последовательность U_n ограничена и возрастает, следовательно по теореме Вейерштрасса она имеет предел сходится, что и требовалось доказать.

2)

расходится, теорема доказана полностью.

пример 1. Исследовать ряд на сходимость

Решение

– ряд сходится как обобщенно-гармонический

По признаку сравнений их сходимости большего следует сходимость меньшего, следовательно исходный ряд сходится.

пример 2. Исследовать ряд на сходимость

Решение

исследуем по интегральному признаку Коши.

расходится.

Итак, интеграл расходится, следовательно ряд расходится.

Из расходимости большего ряда по признаку сравнения ничего не следует. Признак сравнения применять нельзя.

Предельная форма признака сравнения.

Пусть заданы два знакоположительных ряда и предел отношения этих рядов некоторой константе , тогда либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.

Доказательство

По определению, если предел некоторой числовой последовательности a_n, то для любого числа ε больше нуля существует N такое, что для любого n ≥ N выполняется неравенство

выполняется

Отбросим первые N – 1 членов.

По свойствам сходящихся рядов на сходимость исходного ряда это не повлияет.

1)

Если

Если ряд v_n сходится, то по признаку сравнения меньший ряд тоже сходится, т.е. u_n сходится.

Если

2)

Если

Если

пример. Исследовать ряд на сходимость .

Решение

Выберем для сравнения ряд

По предельной форме признана сравнения ряды и либо оба сходится, либо оба расходятся.

исследуем по интегральному признаку Коши.

. Интеграл расходится.

Следовательно ряд v_n расходится расходится.

Эквивалентные бесконечно малые величины (α→0)

Если следующие величины присутствуют в члене ряда, то можно выбирать их эквиваленты для сравнения.

Признак Даламбера

Пусть – знакоположительный ряд, тогда если

Доказательство

1) Пусть l < 1

Выберем q произвольно, чтобы оно лежало между l и 1.

l < q < 1.

Пусть ε = q – l; l + ε = q;

Составим вспомогательный ряд из величин . Следовательно этот ряд сходится, как геометрическая прогрессия q < 1.

В исходном ряде отбросим первые N –1 членов, что не повлияет на сходимость по свойствам рядов, получим:

По условиям (*) полученный ряд меньше вспомогательного, и вспомогательный ряд сходится, т.е. больший сходится, и по признаку сравнения меньший тоже сходится, т.е. сходится и исходный ряд.

2) l > 1,

Радикальный признак Коши

– знакоположительный ряд,

Доказательство

1) l < 1, ε = q – l;

сходится (геометрическая прогрессия).

– сходится (по признаку сравнения).

2) l > 1, ε = l – 1;

ряд сходится (по необходимому признаку).

Доказательство завершено.