Приложение. 1. Ряд Тейлора для функции двух переменныхf (x, y)

1. Ряд Тейлора для функции двух переменных f (x, y).

Рассмотрим функцию двух переменных f (x, y), тогда если x и y принадлежат некоторой окрестности точки (a, b), то функцию f (x, y) в окрестности точки (a, b) можно представить в виде ряда Тейлора, т.е. в виде разложения по степеням разностей (x - a) и (y - b):

O { max [(x - a)², (y - b)²]}.

Данное разложение представлено с точностью до линейных значений разностей (x - a) и (y - b).

2. Теорема о конечных приращениях Лагранжа.

Теорема Лагранжа (для случая функции одной переменной).

Пусть:

1. Функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [ а, b ];

2. Существует конечная производная f¢ (x), по крайней мере, в открытом промежутке (а, b).

Тогда: между а и b найдётся такая точка с (а < с < b), что для неё выполняется неравенство:

или

Данное соотношение называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Если вместо f (x) рассматривается функция двух переменных f (x, y), удовлетворяющая требованиям теоремы Лагранжа по второму аргументу - y, то на основе теоремы Лагранжа можем написать: .