Простейшие разностные аппроксимации задачи Коши

Cнова рассматриваем задачу Коши для ОДУ в её обычной постановке:

y ¢(x) = f (x, y (x)), x Î [ x ₀, b ] (1)

y (x ₀) = y ₀ (2)

Полагая в выражении (1), что x = x_i получим:

y¢ (x_i) = f (x_i, y (x_i)) (44)

Далее к левой части равенства (44) будем применять приведённые в таблице 2 простейшие аппроксимации производной y ¢(x) первого и второго порядков точности.

Таблица 2 -формулы аппроксимации первой производной.

формула левой аппроксимации производной y ¢(x) в узле xi: , x i- 1 Î(x i- 1; xi),

формула правой аппроксимации производной y ¢(x) в узле xi: , x i+ 1 Î(x i; xi+ 1)

формула симметричной аппроксимации производной y ¢(x) в узле xi: , x i Î(x i- 1; x i+ 1)

формулы несимметричной аппроксимации производной y ¢(x) второго порядка точности в узле xi: , x i Î(x i, x i+ 2), , x i Î(x i- 2, x i).

Используя соотношения из таблицы 2 для аппроксимации производной y ¢(x) из ОДУ (1), получим следующие выражения для приближённых (явных и неявных) разностных методов решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.

y ¢(x_i) = или

y ¢(x_{i+ 1}) = (45)

(46)

(47)

или

переписывая это соотношение применительно к узлу (x_{i- 1}) получим:

(48)

или

переписывая это соотношение применительно к узлу (x_{i+ 1}) получим:

(49)

Отбрасывая в выражениях (45) - (49) слагаемое, характеризующее порядок аппроксимации производной и заменяя в них точные значения y (x_j) решения y (x)
в j -х узлах сетки w _h = { x _i | x _i = x ₀ + ih (i = 0,1, …, n) } приближёнными значениями
y_j получаем следующую совокупность разностных схем решения задачи Коши:

Из (45) Þ y_{i+ 1} = y_i + h f (x_i, y_i) (i = 0,1, …, n - 1); (50)

Из (46) Þ y_{i+ 1} = y_i + h f (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}) (i = 0,1, …, n - 1); (51)

Из (47) Þ y_{i+ 1} = y_{i- 1} + 2 h f (x_i, y_i) (i = 1,2…, n - 1); (52)

Из (48) Þ y_{i+ 1} = 4 y_i -3 y_{i- 1} - 2 h f (x_{i- 1}, y_{i- 1}) (i = 1,2…, n - 1); (53)

Из (49) Þ y_{i+ 1} = y_i - y_{i- 1} + f (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}) (i = 1,2…, n - 1). (54)

Первые две схемы (50) и (51) являются явной и неявной схемой Эйлера, которые рассмотрены раньше, остальные методы (52) – (54) являются двухшаговыми.