Применение метода Рунге-Кутта четвёртого порядка для численного решения нормальных систем ОДУ

Метод Рунге-Кутта для нормальных систем рассмотрим на примере задачи Коши для нормальной системы ОДУ второго порядка:

Далее вычислительную схему метода Рунге-Кутта (36) будем применять отдельно к каждому уравнению данной нормальной системы. При этом частные приращения для первой искомой функции y ₁(x), рассчитываемые в соответствии с правилом (36), будем обозначать через , а частные приращения для второй искомой функции y ₂(x) будем обозначать как .

Поскольку правые части уравнений нашей системы ОДУ, т.е. функции и зависят от обеих искомых функций y ₁(x) и y ₂ (x), то приращения для y ₁(x) и y ₂ (x) на каждом шаге метода вычисляются одновременно. Поэтому метод Рунге-Кутта четвёртого порядка для решения задачи Коши для нормальной системы ДОУ второго порядка имеет вид:

где:

§6. Разностные аппроксимации задачи Коши.

6.1 Разностный способ решения задачи Коши.

В отличие от рассмотренных выше методов разностный способ решения задачи Коши основан на замене (т.е. на аппроксимации) входящей в ДУ производной y ¢(x) каким-либо разностным отношением, т.е. на использовании формул аппроксимаций производной, рассмотренных ранее при изучении численного дифференцирования [1, стр. 590].

Как и раньше рассмотрим задачу Коши для ОДУ в её обычной формулировке:

y ¢(x) = f (x, y (x)), x Î [ x ₀, b ] (1)

y (x ₀) = y ₀ (2)

Речь идёт о получении числовой таблицы (табл. 1) приближённых значений
y_i» y (x_i) искомого решения y (x) задачи Коши на сетке x _i Î [ x ₀, b ] с шагом , при этом расчётными точками метода (узлами) служат точки
x _i = x ₀ + ih (i = 0,1, …, n).

Таблица 1 приближённые значения решения

x	x 0	x 1	…	xn = b
y	y 0	y 1	…	yn» y (b)

Иногда задаваемую таблицей 1 совокупность приближённых решений задачи Коши: y ₀» y (x ₀), y ₁» y (x ₁), y ₂» y (x ₂), …, y_n» y (x_n) также называют каркасом решений, соответствующим узлам сетки

w _h º { x _i | x _i = x ₀ + ih (i = 0,1, …, n)}.

Применительно к начальным значениям x ₀ и y ₀, задающим начальные условия (2), уравнение (1) превращается в равенство:

y¢ (x ₀) = f (x ₀, y (x ₀)) º f (x ₀, y ₀). (37)

Воспользуемся результатами, полученными при численном дифференцировании функций, (лекция 4) и применим к левой части равенства (37) аппроксимацию производной правым разностным отношением первого порядка:

, где x _{i+ 1} Î(x _i; x_{i+ 1}). (38)

которое в точке x ₀, т.е. при i = 0, приобретает вид:

, где x₁ Î(x ₀; x ₁). (39)

При использования аппроксимации (39) для производной соотношение (37) перепишется в виде:

.

Откуда получаем формулу для вычисления точного значения решения y (x) в узле x ₁:

, (40)

Опуская в формуле (40) слагаемое характеризующее ошибку используемой аппроксимации производной, мы получим формулу для вычисления приближённого значения y ₁ решения y (x ₁) в узле x ₁:

, (41)

которая идентична выражению, полученному на первом шаге вычислительной процедуры при использовании метода ломаных Эйлера: y ₁ = y ₀ + h f (x ₀, y ₀).

Понятно, что для получения общей расчётной формулы для вычисления приближённых значений y_i решения y (x_i), аналогичной соотношению (41), в равенстве:

y¢ (x_i) = f (x_i, y (x_i)) (42)

необходимо использовать аппроксимацию для производной y ¢(x_i) на основе формулы (38):

(43)

заменив при этом неизвестное точное значение y (x_i), полученным на основе пошаговой вычислительной процедуры известным приближённым значением y_i. В результате получим формулу для вычисления приближённого значения y_{i+ 1} решения y (x_{i+ 1}) в узле x_{i+ 1}:

y_{i+ 1} = y_i + h f (x_i, y_i).

Порядок точности получающегося таким образом «разностногометода» численного интегрирования задачи Коши (1), (2) совпадает с порядком точности аппроксимации производной исходного дифференциального уравнения.

Знание порядков используемых формул аппроксимаций производной и их остаточных членов позволяет выводить оценки погрешностей приближённых решений задачи Коши (на используемой сетке) и изучать устойчивость и сходимость получаемых каркасов решений.

В связи с использованием разностных отношений для построения моделей дифференциальных уравнений, такие модели называются разностными уравнениями или разностными схемами.