Основная теорема зацепления

Свойства зубчатого механизма во многом определяются выбором типа кривых, по которым очерчиваются боковые поверхности зубьев и которые определяют профиль зубьев зубчатых колес. Выбор же кривых для любых зубчатых колес должен, прежде всего, удовлетворять основной теореме зацепления и ее следствиям.

Основная теорема зацепления.

Общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в данный момент зацепления делит линию центров колес на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Для доказательства основной теоремы рассмотрим зацепление двух зубьев в некоторый момент времени (рис. 38) в точке М (М ₁ и М ₂) со скоростями этих точек V_{M 1} = R ₁ и V_{M 2} = – R ₂ соответственно.

Рис. 38. К доказательству основной теоремы зацепления

Пусть NN – общая нормаль в данный момент в точке М. Очевидно, что условием непрерывности зацепления при вращении колес будет равенство проекций скоростей V_{M 1} и V_{M 2} на общую нормаль, т. е. . В противном случае (при ) получим либо отставание одного зуба от другого (), либо «внедрение» () – что недопустимо.

Обозначая углы векторов с нормалью через и , имеем:

.

Из подобия и :

,

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Проекции скоростей на общую касательную не равны между собой. Поэтому зацепление зубьев происходит со скольжением профилей, от которого возникает износ и потери на трение, зависящие от скорости скольжения .

Скольжения не будет только тогда, когда , т. е. в момент зацепления зубьев на линии центров.

Следствие 2. Для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы общая нормаль NN в любой момент зацепления проходила через одну и ту же точку на линии центров, называемую полюсом зацепления Р.

Окружности, проходящие через полюс зацепления, называют начальными (r_{ω 1} и r_{ω 2}). Они являются центроидами относительного движения колес. Расстояние по дуге начальной окружности между двумя соседними зубьями называется шагом по начальной окружности (P_{ω 1} и P_{ω 2}). Так как начальные окружности – центроиды, то P_{ω 1} = P_{ω 2} = P_ω.

Числа зубьев колес обычно обозначаются через z (z ₁ и z ₂). Тогда следующие равенства очевидны: и .

Из основной теоремы зацепления для круглых колес имеем:

, (6.1)

т. е. передаточное отношение пары зубчатых колес с неподвижными осями обратно пропорционально числу зубьев, взятому с соответствующим знаком. Для внешнего зацепления – знак «минус», для внутреннего – «плюс».

Из выражения (6.1) следует:

. (6.2)

Условиям основной теоремы зацепления и ее следствиям соответствует большое число кривых. Можно даже взять произвольный профиль одного зуба и получить, пользуясь основной теоремой, профиль зуба сопряженного с ним колеса. Однако такой профиль не будет соответствовать нижеперечисленным требованиям, предъявляемым к зубчатым колесам:

- профили должны быть взаимно просты и технологичны в производстве;

- зубчатые колеса должны быть взаимозаменяемы;

- профили зубьев должны иметь минимальный износ поверхностей и достаточную прочность и долговечность;

- профили должны давать постоянное давление на опоры для обеспечения долговечности подшипников.

В настоящее время в машиностроении и приборостроении основной кривой для профилей зубьев является эвольвента круга, предложенная Л. Эйлером в 1754 г. Более чем двухсотлетнее применение эвольвентных зубчатых колес свидетельствует об удачном выборе кривой, особенно в связи с изобретением прогрессивного метода обработки (метода обкатки).