Методи розв’язання диференціальних рівнянь геофільтрації

Дана тема розкриває підхід до розв’язання диференціальних рівнянь геофільтрації. Дається відповідна класифікація задач. Визначаються важливі в ДПВ поняття – початкові та крайові умови. Також показані різноманітні підходи до розв’язання задач геофільтрції.

Запитання, що розглядаються в даній темі:

1. Як з математичної точки зору характеризуються рівняння геофільтрації?

Розглянуті в попередніх темах диференціальні рівняння фільтрації підземних вод відносяться до лінійних чи нелінійних рівнянь другого порядку еліптичного типу (жорсткий режим) чи параболічного типу (пружний режим).

2. Які рівняння називаються лінійними та нелінійними? Коефіцієнти рівнянь більші нуля в лінійних рівняннях залежать тільки від координат, в нелінійних від координат та шуканої функції

3 .Що означає понять “параметр фільтрації” підземних вод?

Параметр – це величина, що характеризує деяку властивість певного явища. Основними фізичними властивостями пористого середовища, що визначають умови руху в ньому води є пористість та проникність. Тому основні гідрогеологічні параметри водоносного горизонту повинні відображати ці властивості водовмісної породи, тобто її ємнісні та фільтраційні властивості.

4. Що являють собою коефіцієнти рівнянь фільтрації з точки зору математичної моделі?

Це – коефіцієнти в рівняннях фільтрації, що пов’язують диференціальне рівняння з певними природними умовами в яких відбувається процес фільтрації.

5. Які існують методи для розв’язку диференціальних рівнянь фільтрації?

Існує три групи методів: аналітичні, методи аналогового моделювання та числові (чисельні методи) розв’язку

6. Що необхідно знати (врахувати, задати) для розв’язку диференціального рівняння, що описує процес фільтрації?

Необхідно задати межі інтегрування. По відношенню до опису процесу фільтрації це буде початковий стан процесу (“початкові умови”) та умови на межі області фільтрації (“граничні умови”). В сукупності початкові та граничні умови формують так звані “крайові умови”.

7. Що означає поняття “початкові умови” та “граничні умови” фільтраційних потоків?

Початкові умови відображають стан потоку перед початком процесу неусталеної фільтрації, вони характеризують значення шуканої функції (наприклад, гідродинамічного напору ) в початковий (нульовий) момент часу.

Граничні умови характеризують величини гідродинамічних напорів та витрат потоку на всіх межах пластів – бокових, нижній, верхній та внутрішніх.

8. Що таке “крайова задача” і для чого вона формується?

Крайова задача це сукупність крайових умов та відповідного диференціального рівняння.

9. Що означає поняття “граничні умови І роду”?

Гранична умова I роду. Спрощений математичний запис:

,

окремий випадок

,

де – гідродинамічний напір на межі області фільтрації;

– час.

Наприклад, така умова виникає на межах, де водоносний горизонт контактує з іншим, більш водозбагаченим, горизонтом або річкою.

10. Що означає поняття “граничні умови ІІ роду”?

Гранична умова II роду. Спрощений математичний запис:

,

окремі випадки

,

де – питома витрата потоку на межі області фільтрації;

– час.

11. Що означає поняття “граничні умови ІІІ роду”?

Гранична умова III роду. Спрощений математичний запис: ,

де – питома витрата потоку на межі області фільтрації;

– гідродинамічний напір на зовнішній межі (річка, інший водоносний горизонт);

– гідродинамічний напір на межі області фільтрації.

Рис.5. Гранична умова ІІІ роду.

12. Що означає поняття “граничні умови ІV роду”?

Гранична умова IV роду – спрощений математичний запис:

де та – гідродинамічі напори по обидві сторони межі;

та – питомі витрати потоку по обидві сторони межі.

13. Які граничні умови можуть існувати на нижній межі потоків?

Може мати місце гранична умова ІІ роду (), коли нижня межа потоку складена водотривкими породами, а також гранична умова ІІІ роду, якщо має місце перетікання з сусіднього водоносного горизонту.

14. Які граничні умови можуть існувати на верхній межі потоків?

Може мати місце гранична умова ІІ роду (), коли верхня межа потоку складена водотривкими породами, а також гранична умова ІІІ роду, якщо має місце перетікання з сусіднього водоносного горизонту. Якщо верхня межа потоку являє собою поверхню рівня підземних вод (вільну поверхню), то гранична умова ІІ роду () буде залежати від величини інфільтраційного живлення та випаровування з поверхні підземних вод

15. Які граничні умови можуть існувати на внутрішній межі потоків?

Може мати місце гранична умова І роду (). Наприклад, постійний рівень води в дрені, озері, колодязі. Також може мати місці гранична умова ІІ роду (). Наприклад, робота водозабірної свердловини з постійним та змінним дебітом.

Додаткові запитання до теми:

1.Які існують методи вирішення крайових задач геофільтрації?

2.Яким вимогам має відповідати крайова задача?

Задача № 7.1

Умова:

На основі роздавального матеріалу визначити граничні умови різноманітних потоків підземних вод.

Тема 8