Тема 5: Вихідні диференціальні рівняння фільтрації

Поняття про застосування фундаментальних рівнянь математичної фізики ДПВ. Поняття про жорсткий та пружний режими фільтрації. Отримання рівняння нерозривності та рівняння фільтрації на базі понять про струменисту модель руху рідини та закони фільтрації підземних вод.

Головні питання та відповіді теми:

1. Які природні сили обумовлюють явище фільтрації води крізь гірські породи?

Явище фільтрації обумовлюють:

- сила тяжіння та тиску рідини, що обумовлені висотою положення та п’єзометричною висотою;

- сили інерції, що визначаються величиною швидкісного напору;

- сили пружності рідини та фільтруючої породи, що виникають при зміні тиску у водоносному горизонті.

2. Які сили протидіють процесу фільтрації води крізь гірські породи?

Процесу фільтрації протидіють:

- сили внутрішнього тертя, що обумовлені в’язкістю рідини;

- сили зовнішнього тертя, що обумовлені наявністю системи “рідина – порода”.

3. Що таке “жорсткий режим” фільтрації?

Це такий режим фільтрації однорідної, слабо мінералізованої рідини, в формуванні якого вплив сил інерції та пружності настільки незначний, що ними нехтують, а в’язкість настільки мала, що нехтують і силами внутрішнього тертя. При цьому фільтрація відбувається в ізотермічних умовах.

4. Що взято за основу виводу рівняння нерозривності7

Отримання вихідних диференціальні рівнянь фільтрації починається з одержання рівняння нерозривності просторового фільтраційного потоку. Для цього виділяють нескінченно малий елемент простору і розглядають для нього баланс ваги рідини на протязі нескінченно малого часу .

5. Який вигляд має рівняння нерозривності?

Виходячи із необхідності додержання умов балансу ваги рідини, отримуємо таке рівняння:

, (5.1)

де - питома вага рідини;

- швидкості фільтрації у напрямах X,Y,Z;

- просторові координати;

- час;

- коефіцієнт активної пористості.

Після скорочення нескінченно малих маємо:

, (5.2)

це і є рівняння нерозривності.

Якщо питома вага рідини є величиною сталою (), рівняння нерозривності має вигляд:

(5.3)

6. В чому полягає зміст рівняння фільтрації?

Рівняння фільтрації потоку визначає розподіл у потоці гідродинамічних напорів. Таке рівняння можна отримати на базі рівняння нерозривності, якщо пов’язати величини швидкості у рівнянні нерозривності з гідродинамічним напором. При цьому, звичайно, використовується залежність, що визначає основний закон фільтрації (закон Дарсі).

7. Який вигляд має рівняння жорсткого режиму фільтрації?

При жорсткому режимі фільтрації зневажають деформацією гірської породи і рідини, тому

За умові, що , маємо:

(5.4)

Складові швидкості фільтрації пов’язані з гідродинамічним напором у відповідності до основного закону фільтрації, а саме:

(5.5)

де – коефіцієнти фільтрації у напрямах осей координат.

Тому рівняння жорсткого режиму фільтрації має вигляд:

(5.6)

8. Який вигляд має рівняння жорсткого режиму фільтрації для однорідно-ізотропних пластів?

У випадку, якщо водоносний пласт однорідно-ізотропний (коли ), таке рівняння має вигляд:

(5.7)

Останнє рівняння відповідає рівнянню Лапласа, яке є одним з відомих рівнянь математичної фізики. Функція, що відповідає цьому рівнянню, має назву гармонічної (потенціальної).

9. Який вигляд має рівняння жорсткого режиму фільтрації для однорідно-анізотропних (шматковоово-однорідних) пластів?

Якщо пласт є однорідно-анізотропним або шматково-однорідним (коли ), рівняння жорсткого режиму фільтрації має вигляд:

(5.8)

10. Справедливі чи ні рівняння жорсткого режиму фільтрації для неусталених потоків підземних вод?

При отриманні рівнянь не накладались обмеження відносно стаціонарності течії. Тому ці рівняння справедливі як для стаціонарного (усталеного) потоку, так і для нестаціонарного (неусталеного) потоку. Проте слід звернути увагу, що в рівняннях похідні за часом відсутні.

11. Як записується рівняння нерозривності для пружного режиму фільтрації?

При отриманні рівняння нерозривності для пружного режиму фільтрації слід враховувати складову рівняння нерозривності . Деформація розглядається як пружна, тому застосовується поняття коефіцієнта пружної ємності гірської породи .

Якщо ,

(5.9)

Тоді рівняння нерозривності має вигляд:

(5.10)

12. Як перейти від рівняння нерозривності до рівняння пружного режиму фільтрації?

З врахуванням закону Дарсі ( ), рівняння пружного режиму фільтрації отримує такий вигляд:

(5.11)

13. Який вигляд має рівняння пружного режиму фільтрації для шматково-однорідних або однорідно-анізотропних пластів?

Якщо пласт є шматкого-однорідним або однорідно-анізотропним, рівняння має вигляд:

(5.12)

14. Який вигляд має рівняння пружного режиму фільтрації для однорідно-ізотропних пластів?

У випадку,коли водоносний пласт є однорідно-ізотропним (коли ), рівняння набуває такого вигляду:

(5.13)

Це рівняння відповідає рівнянню Фур’є (рівнянню теплопровідності), відомому з математичної фізики.

15. Як в рівнянні пружного режиму фільтрації враховуються водопроникні властивості водовмісної породи?

Можна записати рівняння Фур’є у такому вигляді:

(5.14)

де – потужність потоку.

Відомо, що , де - коефіцієнт пружної водовіддачі пласту; відповідно , де – коефіцієнт водопровідності пласту. Тому рівняння набуває вигляду:

(5.15)

За пропозицією В.Щелкачова застосовується поняття “коефіцієнту п’єзопровідності” :

(5.16)

Коефіцієнт п’єзопровідності визначає характер розвитку процесу пружного режиму фільтрації у часі, має таку ж саму розмірність, як і коефіцієнт водопровідності.

16. Який вигляд має рівняння пружного режиму фільтрації при застосуванні коефіцієнту п ’ єзопровідності?

Рівняння має наступний вигляд:

(5.17)

Задача №5.1

Привести рівняння жорсткого режиму фільтрації для однорідно-анізотропних (кусково-однорідних) пластів до вигляду рівняння Лапласа методом лінійного перетворення координат

Тема 6: Основні диференціальні рівняння планової фільтрації

Запитання, що розглядаються в даній темі дають поняття про пов’язують вихідні диференціальні рівняння фільтрації з реальними природними умовами. Вводиться поняття планової фільтрації. Розглядаються умови, що дають змогу застосувати це поняття. Розглядаються рівняння фільтрації для основних типів потоків підземних вод та проблеми, що в зв’язку з цим виникають.

Запитання, що розглядаються в темі:

1. Що таке планова фільтрація?

При віддаленні від меж потоку лінії рівних напорів у розрізі стають все більше вертикальними, а лінії току все більше горизонтальними. Тому, на деякій відстані від межі потоку (від межі області фільтрації), потік можна розглядати як плановий. Суттєве відхилення має місце на відстані від межі потоку (де - потужність потоку). Приймається умова, що похідна .

2. У чому полягає суть “передумови Дюпюі”?

Об’єкти гідрогеологічних досліджень в плані мають значне розповсюдження у порівнянні з потужністю пластів (у більшості випадків). Тому можна вважати, якщо розглядається в загальному випадку розглядається тримірний потік, то при плановій фільтрації задача стає двомірною. Відповідно, у диференціальних рівняннях, мають місце дві просторові координати, що полегшує розв’язок таких рівнянь. Уявлення про незначну потужність потоку у порівнянні з його лінійними розмірами запропонував французький гідравлік Дюпюі. Це уявлення в ДПВ має назву – “передумова Дюпюї”.

3. Які випадки (пласти) розглядає теорія планової фільтрації?

- ізольований напірний пласт (верхня та нижня межа такого пласту складають водотривкі породи;

- напірний пласт при наявності перетікання (межі такого пласту складають слабо проникні породи);

- безнапірний пласт (верхня межа такого пласту – вільна поверхня рівня підземних вод, нижня – складена водотривкими, або слабо проникними породами.

4. Які умови враховуються при розгляді фільтрації в ізольованому напірному пласті?

- згідно передумови Дюпюі приймається, що похідна ;

- при виводі рівняння нерозривності розглядається елемент простору, що має нескінченно малу площу та висоту рівну (де - потужність водоносного пласту).

5. Який вигляд має рівняння нерозривності для жорсткого режиму фільтрації?

За умови, що , рівняння нерозривності має такий вигляд:

6. Який вигляд має рівняння жорсткого режиму при плановій фільтрації в напірному ізольованому пласті?

.

При умові, що водоносний пласт однорідний, тобто , рівняння набуває такого вигляду.

7. Який вигляд має рівняння пружного режиму при плановій фільтрації в напірному ізольованому пласті?

.

При умові, що водоносний пласт однорідний, тобто , рівняння набуває такого вигляду:

8. В чому полягають особливості виводу рівняння нерозривності для напірних пластів при наявності перетікання?

Перетікання з одного водоносного горизонту до іншого можливе у випадку, коли ці горизонти розділяє відносно водотривкий (слабо проникний) шар. При наявності перетікання, наприклад зверху, слід враховувати певну кількість води, що надійде до виділеного розрахункового елементу через верхню грань. Приймається до уваги передумова перетікання (Мятієва – Гіринського). При цьому запаси води у роздільному шарі не враховуються.

9. Як визначається додатковий об'єм рідини, що надходить у виділений елемент за рахунок перетікання?

, де

- коефіцієнт фільтрації роздільного шару;

( - ) - різниця гідродинамічних напорів сусідніх водоносних шарів;

- потужність роздільного шару.

10. Який вигляд має рівняння нерозривності для напірного потоку при наявності перетікання?

11. Як перейти від рівняння нерозривновті до рівняння фільтрації для напірного пласта при наявності перетікання?

Якщо врахувати, що потік має незмінну потужність (), пласт є однорідним та ізотропним (), режим течії ламінарний (), отримаємо таке рівняння:

.

12. Що таке "фактор перетікання" та "показник перетікання"?

Поняття фактору перетікання (В) застосовується для спрощення вигляду рівняння фільтрації для пластів з перетіканням:

Тоді рівняння фільтрації буде мати такий вигляд:

Аналогічно можна застосувати і поняття показника перетікання ():

Тоді рівняння фільтрації буде мати такий вигляд:

.

13. Які особливості слід враховувати при виводі рівняння планової фільтрації в безнапірному пласті?

Особливістю такої фільтрації є те, що при зниженні депресійної поверхні потужність потоку змінюється. Тому у розрахунковий елемент потоку надходить додатковий об’єм рідини, який обумовлений гравітаційною водовіддачею. Крім того, у безнапірний пласт зверху надходить рідина за рахунок інфільтрації. Питому величину інфільтраційного живлення (на одиницю площі за одиницю часу) позначимо як .

14. Як визначається додатковий об'єм води, що надходить за рахунок гравітаційної водовіддачі?

Якщо швидкість зниження депресійної поверхні дорівнює то об’єм додаткового живлення на одиницю площі потоку за одиницю часу дорівнює: де - коефіцієнт гравітаційної водовіддачі.

15. Який вигляд має рівняння нерозривності для безнапірного пласта?

При умові, що рівняння нерозривності має вигляд:

.

16. Як перейти від рівняння нерозривності до рівняння фільтрації для умов безнапірного пласта (рівняння Буссінеска)?

Використовуючи залежність для виразу швидкості згідно з законом Дарсі та враховуючи відповідні особливості маємо таке рівняння фільтрації:

де - коефіцієнт пружної водовіддачі безнапірного пласту.

Відомо, що для безнапірної фільтрації є характерними малі ухили депресійної поверхні, тому можна прийняти, що:

Крім того, для безнапірних пластів .

Ці умови дозволяють спростити рівняння фільтрації до вигляду:

Якщо пласт однорідний та ізотропний ():

Це рівняння у випадку, що , вперше отримано Буссінеском, тому має назву рівняння Буссінеска.

17. У чому полягають особливості рівняння Буссінеска з точки зору його розв’язку?

Зауважимо, що у рівнянні Буссінеска шуканою функцією є гідродинамічний напір . Але коефіцієнти при похідних () у лівій частині рівняння залежить від шуканої функції. Такого не було у рівняннях напірної фільтрації, де потужність потоку не залежить від змін гідродинамічного напору. Рівняння такого типу, як рівняння Буссінеска, має назву нелінійного рівняння. Нелінійні рівняння складно розв’язувати, тому на практиці рівняння Буссінеска лінеаризують.

18. Що таке лінеаризація нелінійного рівняння?

Лінеаризація – це заміна нелінійного рівняння на подібне йому лінійне, з застосуванням при цьому спеціальних прийомів та умов.

19. Які існують методи лінеаризації рівняння Буссінеска?

Існує два способи лінеаризації рівняння Буссінеска.

Перший спосіб запропонований Буссінеском. Приймається, що , де - деяка середня потужність потоку. Тоді рівняння має вигляд:

Другий спосіб запропонований Багровим та Веригіним. Необхідними умовами його застосування є:

- наявність горизонтального водотривкого шару;

- поверхня порівняння повинна співпадати з водотривким шаром.

В такому випадку . Проте:

.

Тоді рівняння має вигляд:

.

Тут теж застосовується поняття , але похибка від осереднення тут менша, ніж у першому способі.

Як бачимо, рівняння є лінійним відносно . Тому другий спосіб лінеаризації має назву лінеаризації відносно квадрата шуканої функції.

20. Що таке коефіцієнт водопровідності?

Коефіцієнт водопровідності потоку () визначається як добуток коефіцієнта фільтрації () та потужності потоку ( або ):

21. Що таке коефіцієнт рівнепровідності?

За аналогією з коефіцієнтом п’єзопровідності у напірному пласті, для безнапірного пласту застосовується поняття коефіцієнта рівнепровідності.

,

де – коефіцієнт гравітаційної водовіддачі.

22. Який висновок можна зробити, проаналізувавши рівняння планової фільтрації для різних потоків?

Слід звернути увагу на те, що в результаті лінеаризації отримують рівняння, яке є формально ідентичним рівнянню напірної фільтрації. Наявність інфільтраційного живлення не є принциповим фактом, бо існує аналогія між інфільтраційним живленням та перетіканням у напірному потоці.

Математична еквівалентність кінцевих рівнянь напірної та безнапірної фільтрації дозволяє у подальшому розглядати головним чином рівняння напірної фільтрації, а висновки відносно безнапірної фільтрації робити за аналогією.

Задача №6.1

Умова:

На основі роздавального матеріалу визначити які потоки та в яких умовах описуються наведеними в темі 6 диференціальними рівняннями.

Тема 7