Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой Параметр пробегает все действительные значения.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Алгоритм для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой a:

• находим общее уравнение прямой a вида или уравнение прямой a с угловым коэффициентом ;
• получаем общее уравнение прямой b вида или уравнение прямой b с угловым коэффициентом вида , учитывая, что прямая b проходит через заданную точку M₁ и перпендикулярна заданной прямой a;
• определяем координаты точки H₁ - точки пересечения прямых a и b, решая систему линейных уравнений или ;
• вычисляем требуемое расстояние от точки M₁ до прямой a по формуле .

5. Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

• Уравнение плоскости в отрезках:

где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

• Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

в векторной форме:

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

6. Векторное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости