 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теорема о сходимости метода касательных
|
|
Если функция f(x) удовлетворяет сформулированным условиям, то найдется такое δ, 0<δ≤min (c-a, b-c), что при любом выборе начального приближения на отрезке [c-δ,c+δ]Î[a, b]существует бесконечная итерационная последовательность, которая сходится к корню с.
В силу предположения о дифференцируемости функции f(x) и не равенстве нулю ее производной f `(x) уравнение эквивалентно на отрезке [a,b] уравнению
x=φ(x), где φ(x)= x – f(x)/f `(x),
Вычислим производную функцию φ(x)= x – f(x)/f `(x):
φ`(x)= 1 – [(f `(x))2- f(x) f ``(x)]/(f `(x))2 =- f(x) f ``(x)/ (f `(x))2
и оценим полученное выражение. Согласно неравенствам, будем иметь
|φ`(x) |≤M | f(x)|/ m2.
Для дальнейшей оценки |φ`(x) | воспользуемся непрерывностью и равенством нулю функции f(x) в точке x=c:
lim f(x) = f(c) = 0.
Положим ε = m2/(2M), тогда для данного ε можно указать такое δ, 0<δ≤min (c-a, b-c), что для всех xÎ[c- δ, c+ δ] выполняется неравенство
| f(x) f(c)| = | f(x)| ≤ε=m2/(2M).
Выполняя преобразования, получим
|φ`(x) |≤(M / m2).(m2/2M) = ½.
Таким образом, функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [c-δ,c+δ]Î[a, b] условию Липшица с постоянной α=1/2<1. Это означает, что уравнение можно решать методом итераций: при любом выборе нулевого приближения xo на отрезке [c-δ,c+δ] существует бесконечная последовательность {xn}, сходящаяся к корню x =c.
Итерационная последовательность для уравнения, сходимость которой мы только, что установили, является последовательностью метода касательных. Теорема доказана.
Требования близости нулевого приближения xo к искомому корню с является существенным для метода касательных. На рис. 6 изображен график той же функции f(x), что и напредыдущим графике, однако xo выбрано дальше от корня с, чем в первом случае. В результате после первого же шага получается точка x1, которая не принадлежит исходному отрезку [a,b], и на этом процесс построения рекуррентной последовательности метода касательных обрывается.
Таким образом, до начала расчетов по данному методу для выбора нулевого приближения xo нужно знать область локализации искомого корня x=c. Если известен в общих чертах график функции f(x),, то ее легко определить по графику. В случае необходимости можно сделать несколько шагов по методу вилки. Затруднения, связанные с предварительным исследованием уравнения, вполне окупаются высокой скоростью сходимости метода.
Рис.6. Случай, когда процесс построения последовательности {xn} обрывается из-за плохого выбора нулевого приближения
В качестве примера можно рассмотреть задачу извлечения квадратного корня из произвольного положительного числа a, a>0, который будем искать как решение уравнения
f(x) =x2 – a=0.
Рекуррентная формула метода Ньютона в данном случае принимает вид
xn=1 = xn – (xn2-a)/2xn.
Рассмотрим извлечение квадратного корня из числа 27. В качестве первого приближения примем 5.
| n | xn |
| 5,2000 | |
| 5,1961538461538500 | |
| 5,1961524227068300 | |
| 5,1961524227066300 |
Процесс сходимости весьма быстрый.
Рассмотрим пример по определению температуры воздуха внутри помещения (см. предыдущие разделы).
f(tв) =(tв + 20)50/2,5 – 1,5.600((82,5- tв)/ 70)1,4 =0
f `(tв) = 20 tв – 1,4 . 1,5.600((82,5 -tв)/ 70)0,4(-1/70)= 20 + 18((82, 5-tв)/ 70)0, 4
Рекуррентная формула принимает вид
tв(n+ 1 ) = tв(n) –[(tв + 20)50/2,5 – 1,5.600((82,5- tв)/ 70)1,4 ]/[ 20 +18((82,5 -tв)/ 70)0,4 ]
В качестве первого приближения примем среднее значение ранее определенного интервала [10, 25] – 17,5.
| n | xn |
| 17,5 | |
| 19,13591322 | |
| 19,1397908375762 | |
| 19,1397908595864 | |
| 19,1397908595864 |
Начиная с n=1 последовательность {xn} возрастает и приближается к корню x=c снизу. После третьего шага процесс «останавливается». Становится невозможным уловить разницу между xn=1 и xn, лежащей за пределами ошибки округления.
При оценки эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:
1) универсальность;
2) простота организации вычислительного процесса и контроля за точностью;
3) скорость сходимости.
Выводы
1. Наиболее универсальным является метод вилки: он требует только непрерывности функции. Два других метода накладывают более сильные ограничения. В некоторых случаях это преимущество метода вилки может оказаться существенным.
2. С точки зрения организации вычислительного процесса все три метода очень просты. Однако и здесь метод вилки обладает определенным преимуществом. Вычисления можно начинать с любого отрезка [a, b], на концах которого непрерывная функция принимает значения разных знаков. Сходимость же метода итераций или касательных зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.
3. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных. В случаях, когда подсчет значений функции сложен и требует больших затрат машинного времени, такое преимущество становится определяющим.
РАСЧЕТ ПЛОСКОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
Плоским температурным полем называется такое поле, в котором температура изменяется только в направлении осей x и y, а в направлении оси z остается постоянной. В ограждающих конструкциях зданий плоское температурное поле характерно при наличии в них элементов каркаса, перемычек и пр., когда их протяженность значительно превышает толщину ограждения.
Дифференциальное уравнение плоского температурного поля имеет следующий вид:
∂2t/∂x2 = ∂2t/∂y2.
Интегрирование этого уравнения в общем виде представляет весьма сложную задачу, которая еще более усложняется наличием в пределах поля материалов с различными коэффициентами теплопроводности. Задача значительно упрощается при решении уравнения в конечных разностях. При этом дифференциальное уравнение заменяется системой линейных уравнений, неизвестными в которых будут значения искомой функции в точках поля, лежащих в узлах сетки, составленной из квадратиков со стороной принятого размера Δ (рис. 7).
В конечных разностях уравнение имеет вид:
τxx =τyy =0,
где τxx,τyy - вторые конечные разности функций τ соответственно по x и y.
Выписывая их подробно, получим
(τx+Δ, y - 2 τx, y + τx- Δ, y)/ Δ2 +(τx, y +Δ - 2 τx, y + τx, y - Δ)/ Δ2= 0 .
Откуда, решая полученное уравнение относительно τx, y, будем иметь:
τx,y = (τx+Δ, y + τx- Δ, y +τx, y +Δ + τx, y - Δ)/ 4 ,
т.е. в однородном поле температура в каждом узле сетки должна равняться средней арифметической температур четырех соседних узлов.
Накладываем на исследуемую конструкцию квадратную сетку с расстояниями между ее узлами Δ таким образом, чтобы узлы сетки располагались по возможности в тех точках, в которых требуется определять температуру. Кроме того, направления одних нитей сетки должно быть параллельным, а других – перпендикулярным основному направлению теплового потока. На рис. 8 приведен пример наложения сетки на стальную колонну двутаврового сечения. Вертикальные нити сетки направлены параллельно оси колонны; одна из горизонтальных нитей совпадает с наружной поверхностью полки двутавра.
Рассмотрим узел с температурой τx,y. Квадрат, в центре которого находится этот узел, получает (или отдает) теплоту в направлении к точкам, расположенным в четырех соседних узлах сетки, имеющих температуры τx+Δ, y, τx-Δ, y, τx, y+Δ, τx, y–Δ. Количество теплоты, которым обменивается с окружающим материалом квадрат, вырезанный вокруг точки x,y, будет зависеть не только от температуры соседних узлов, но и от величины коэффициентов теплопередачи в направлении нитей сетки между точкой x,y и этими точками. Обозначим коэффициенты теплопередачи буквами k с соответствующими индексами, получим:
Q1 = (τx, y - τx-Δ, y)k x-Δ
количество теплоты, передаваемое в направлении от узла x,y к узлу с температурой τx-Δ, y;
Q2 = (τx, y - τx, y+Δ)k y+Δ
количество теплоты, передаваемое в направлении от узла x,y к узлу с температурой τx, y+Δ;
Q3 = (τx, y - τx+Δ, y)k x+Δ
количество теплоты, передаваемое в направлении от узла x,y к узлу с температурой τx+Δ, y;
Q4 = (τx, y - τx, y-Δ)k y-Δ
количество теплоты, передаваемое в направлении от узла x,y к узлу с температурой τx, y-Δ.
Из условия теплового баланса сумма этих количеств тепла должна быть равна нулю, т.е.
(τx,y - τx-Δ, y)k x-Δ = (τx, y - τx, y+Δ)k y+Δ= (τx, y - τx+Δ, y)k x+Δ=
=(τx, y - τx, y-Δ)k y-Δ =0.
Решая это уравнение относительно τx,y, получим окончательно
τx,y= (τx-Δ yk x-Δ + τx, y +Δk y+Δ + τx+Δ, yk x+Δ + τx, y–Δk y-Δ)/(k x-Δ + k y+Δ + k y+Δ+ k y-Δ).
Это и есть общая формула для вычисления температуры во всех узлах сетки.
Если все четыре квадрата, примыкающие к узлу с температурой τx,y, лежат в пределах одного материала (однородное температурное поле), то
k x-Δ = k y+Δ = k y+Δ= k y-Δ.
Коэффициент теплопередачи между узлами сетки определяются следующим образом (рис. 7). Принимаем, что от узла с температурой τx, y+Δ передача теплоты происходит только по квадрату abdc. Тогда коэффициент теплопередачи k y+Δ определяется как величина, обратная сопротивлению теплопередаче квадрата abdc. Сопротивление теплопередаче этого квадрата определяется как ограждение, в котором однородность материала нарушена в перпендикулярном и параллельном тепловому потоку направлениях.
Передача теплоты от узла с температурой τx, y к узлу с температурой τx+Δ, y происходит по квадрату hknm, а к узлу с температурой τx-Δ,y - по квадрату ghml. Сопротивление теплопередачи этих квадратов определяется, как для двухслойной стены.
В направлении к узлу с температурой τx, y-Δ передача теплоты происходит по квадрату mnfe, сопротивление теплопередачи которого определяется, как для стены, состоящей из двух материалов, каждый из которых имеет толщину, равную толщине стены.
Рис. 7. Схема для расчета плоского температурного поля при наложении квадратной сетки
Рис. 8. Схема наложения квадратной сетки при расчете температурного поля колонны двутаврового сечения
Для квадратов, в которые входит только один материал, k= λ/Δ, где λ – коэффициент теплопроводности материала; Δ – расстояние между узлами сетки.
Если узел с температурой τx,y лежит в плоскости, граничащей с воздушной средой, то коэффициент теплопередачи к воздуху будет равен соответствующей величине коэффициента тепловосприятия αint или теплоотдачи α ext. В этом случае величины k к соседним узлам, лежащим в этой плоскости, берутся с коэффициентом 0,5 на основании того, что в направлении к этим узлам передача теплоты по материалу будет происходить только по площади, равной половине квадрата сетки, а по воздуху, в котором окажется вторая половина квадрата, передачи теплоты не будет.
Иногда удобнее для расчета температурного поля пользоваться прямоугольной сеткой (рис. 9). Располагая нити сетки более густо в области поля, в которой нас интересует распределение температуры, например в местах теплопроводных включений, и более редко в остальных областях поля, удается значительно сократить число узлов сетки, а следовательно, и число расчетных уравнений.
Рис. 9. Схема расчета плоского температурного поля при наложении прямоугольной неравномерной сетки
При прямоугольной сетке коэффициенты теплопередачи между узлами определяются с учетом площади, по которой передается теплота; размер поля в направлении z принимается равным 1 м. При этом если узлы сетки лежат в области однородного материала, имеющего коэффициент теплопроводности λ (однородное поле), то по рис. 9 получим следующие значения величин коэффициентов теплопередачи между узлом с температурой τx и соседними узлами:
к узлу 1 –площадь теплопередачи будет F1 =(Δy 1 +Δy 2 )/ 2;
коэффициент теплопередачи kx-1= λF1/Δx1;
к узлу 2 - F 2 =(Δx 1 +Δx 2 )/ 2; kx- 2 = λF 2 /Δy 2 ;
к узлу 3 – F 3 = F 1; kx- 3 = λF 3 /Δx 2 ;
к узлу 4 – F 4 = F 2; kx- 4 = λF 4 /Δy 4 ;
Если поле неоднородно, то коэффициенты теплопередачи между узлами сетки определяются так же, как и при квадратной сетке, но умножением их на соответствующие площади F в м2.
Расчеты температурного поля делаются методом итерации следующим образом. Предварительно задаются некоторыми произвольными значениями температур во всех узлах сетки. Затем по формуле последовательно вычисляют значение температур во всех узлах, заменяя полученными значениями температур предыдущие до тех пор, пока в каждом узле сетки поля температура не станет удовлетворять соответствующим уравнениям при заданных температурах воздуха с одной и с другой стороны ограждения. Процесс можно считать законченным только тогда, когда в пределах заданной точности температуры остаются постоянными во всех узлах сетки. Продолжительность расчета зависит от того, насколько правильно были заданы начальные температуры.
Температурное поле, полученное для данных значений температур внутреннего и наружного воздуха, легко пересчитывается и для других значений температур на основании того, что разность температур любой точки поля и внутреннего или наружного воздуха изменяется пропорционально изменению разности температур внутреннего и наружного воздуха.
Пример. Наружный угол однородной стены толщиной 500 мм.
Необходимо определить распределение температур на внутренней поверхности стены при условии, что температура внутреннего воздуха tв=20 оС, а наружного tн= –20 оС.
На поперечное сечение стены накладываем квадратную сетку размером 100х100 мм. При размещении сетки учитываем, что на расстоянии двух толщин стены влияние угла на распределение температур не будет сказываться.
Материал стены имеет следующие характеристики:
- плотность (γ=1800 кг/м3);
- теплопроводность (λ=0,70 Вт/м оС).
- коэффициент теплоотдачи αint = 8,7 Вт/м2 ч оС, αext = 23 Вт/м2 ч оС
Сопротивление теплопередачи стены будет составлять
R= 1/8,7+0,5/0,7+1/23=0,8727 м2 оС/Вт
Определяем распределение температур внутри стены без учета влияния угла.
| -18,01 | -11,46 | -4,91 | 1,64 | 8,18 | 14,73 |
Узел 1. Теплоотдача от этого узла к наружному воздуху происходит по площади F=0,1 м2. При αext = 23 коэффициент теплоотдачи к наружному воздуху будет k1-tн= 23·0,1=2,3 Вт/м ч оС.
К узлу 2 и 17 – по площади F= 0,05 м2; k1-2=k1-17= 0,7·0,05/0,1=0,35 Вт/м ч оС
Узел 2-15. Теплоотдача от этого узла к наружному воздуху происходит по площади F=0,1 м2. При αext = 23 коэффициент теплоотдачи к наружному воздуху будет kn-tн= 23·0,1=2,3 Вт/м ч оС
К узлу n-1 и n+1 -по площади F= 0,05 м2;
kn-1=kn+1= 0,7·0,05/0,1=0,35 Вт/м чоС
К узлу n+16 - по площади F= 0,1 м2; kn+16= 0,7·0,1/0,1=0,70 Вт/м ч оС
Узел 1+n · 16. Теплоотдача от этого узла к наружному воздуху происходит по площади F=0,1 м2. При αext = 23 коэффициент теплоотдачи к наружному воздуху будет k(1+n*16)-tн= 23·0,1=2,3 Вт/м ч оС
К узлу n-1 и n+1-по площади F= 0,05 м2;
k(1+(n-1) ·16)-tн 1= k(1+(n+1) ·16)-tн =0,7·0,05/0,1=0,35 Вт/м чоС
К узлу 2+n·16 – по площади F= 0,10 м2; k= 0,7·0,1/0,1=0,70 Вт/м ч оС
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 494 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
