 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Метод итераций
|
|
(метод последовательных приближений)
Предположим, что уравнение можно записать в виде
x=φ(x).
Возьмем произвольное значение xo из области определения функции φ(x) и будем строить последовательность чисел {xn}, определенных с помощью рекуррентной формулы:
xn+1 = φ(xn), n= 0, 1, 2, 3,...
Последовательность {xn} называется итерационной. При ее изучении встают два вопроса:
1. Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т.е. будут ли числа xn принадлежать области определения функции φ(x)?
2. Если итерационный процесс бесконечен, то как ведут себя числа xn при n→ ∞?
При определенных ограничениях на функцию φ(x ) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения:
xn =c, c= φ(c).
Функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, если существует такая постоянная α, что для любых x1 и x2, принадлежащих отрезку [a, b], имеет место неравенство
| φ(x1)- φ(x2)| ≤ α | x1 – x1 |.
Величину α в этом случае называют постоянной Липшица.
Если функция φ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b]условию Липшица, то она непрерывна на этом отрезке.
Пусть xo - произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции φ(x) в этой точке
Δf =f(xo+ Δx) – f(xo).
Оценим его с помощью неравенства
| Δf| | ≤ α |Δ x|.
Таким образом, lim Δf =0, что означает непрерывность функции.
Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмем на графике функции y= f(x) две произвольные точки: М1 с координатами (x1, f(x1)) и М2 с координатами (x2, f(x2)) (рис.3). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки. Оно имеет вид
y=f(x1)+k(x-x1),
где k – тангенс угла наклона прямой к оси x –определяется по формуле
k = (f(x1)- f(x2))/(x1 –x2).
Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то при произвольном выборе точек М1 и М2 будем иметь: |k|≤α. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведенных через всевозможные пары точек графика функции y= f(x).
Рис.3. Геометрическая иллюстрация условий Липшица
Сделаем следующий шаг – предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную производную: |f’(x)|≤m при xÎ[a, b]. Можно доказать, что в этом случае она удовлетворяет условию Липшица с постоянной α=m. Данное уравнение также имеет простой геометрический смысл- каждой секущей графика функции y= f(x) можно сопоставить параллельную ей касательную (рис. 4). Поэтому наибольший тангенс угла наклона секущих не превосходит наибольшего тангенса угла наклона касательных, и его можно оценить той же константой m: |k|≤m. Таким образом, любая функция f(x) с ограниченной производной обязательно удовлетворяет условию Липшица.
Рис. 4. Геометрическая иллюстрация связи условия Липшица с предположением о дифференцируемости функции f(x)
Сходимость итерационной последовательности к корню уравнения может быть использована для приближенного определения этого корня с любой степенью точности. Для этого нужно только провести достаточное число итераций.
Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего данный метод, уравнение (10). Его можно представить в следующем виде
tв =45.((82,5- tв)/70)1,4 -20
Роль функции φ(x) в нем играет 45.((82,5- tв)/70)1,4 -20. Это – дифференцируемая функция, которая имеет производную на отрезке [10, 25]. /φ’(x)/ =0,9((82,5 -tв)/70)0,4 ≤ 0,9((82,5-10)/70)0,4
Таким образом, функция удовлетворяет на отрезке [10, 25] условию Липшица с постоянной α =0,9((82,5-10)/70)0,4 <0,912722.
Результаты вычислений по рекуррентной формуле, которая в нашем случае принимает вид xn+1 =45.((82,5- xn)/70)1,4 -20, даны в табл.2. За нулевое приближение была выбрана средняя точка отрезка xo =17,5.
Для удобства анализа итерационной последовательности ее члены расположены по два в строке. В результате образовались столбцы членов с четными и нечетными номерами. Сравнивая их между собой, видим, что четные члены меньше нечетных: итерационная последовательность скачет то вверх, то вниз. С возрастанием номера четные члены возрастают, а нечетные – убывают, приближаясь друг к другу. Такое поведение последовательности означает, что корень уравнения лежит между четными и нечетными итерациями, первые дают его значение с недостатком, вторые - с избытком. Это позволяет легко контролировать точность, достигнутую после любого числа итераций: погрешность не превышает разности между последними вычислениями нечетным и четным членами.
Таблица 2
| n | X2n | X2n+1 |
| 17,5 | 20,56523134 | |
| 17,91260145 | 20,20519447 | |
| 18,22150871 | 19,93624264 | |
| 18,45273279 | 19,73526403 | |
| 18,62577857 | 19,58504337 | |
| 18,75526581 | 19,47274218 | |
| 18,85214805 | 19,38877819 | |
| 18,92462892 | 19,3259953 | |
| 18,97885068 | 19,27904717 | |
| 19,01941101 | 19,24393831 | |
| 19,04975081 | 19,21768218 | |
| 19,0724448 | 19,19804602 | |
| 19,08941941 | 19,18336044 | |
| 19,10211583 | 19,17237717 | |
| 19,11161219 | 19,16416274 |
Мы остановили процесс вычисления на 29-й итерации и можем написать для корня с двойное неравенство:
x28 = 19,11161219 <c< x29 = 19,16416274,
т.е. члены итерационной последовательности x28 и x29 определяют с с недостатком и избытком с погрешностью которая не превышает разность x28 - x29:
ε<Δ29 = x28 - x29 <0,05.
Точность, которой мы достигли после 29 итераций, оказалась несколько ниже, чем после 9 шагов в методе вилки. Причина такого различия ясна. В обоих методах погрешность убывает по закону геометрической прогрессии. Для метода вилки знаменатель прогрессии равен ½, он не зависит от вида функции f(x). Для метода итераций знаменатель равен α – постоянная Липшица функции φ(x). В рассматриваемом примере α>1/2, поэтому сходимость итераций медленнее сходимости метода вилки. Это означает, что метод итераций имеет преимущество перед методом вилки с точке зрения скорости сходимости только в том случае, когда α<1/2.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 924 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
