![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Предположим для определенности, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка [a, b]отрицательное значение, на правом – положительное:
f(a)<0, f(b)>0.
Возьмем среднюю точку отрезка [a, b] ξ= (a+b)/2 и вычислим в ней значение функции f(x). Если f(x)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли на отрезке [a, b] точку с= ξ, в которой наша функция обращается в нуль. В противном случае, когда f(x)≠0, поступим следующим образом: рассмотрим два отрезка [a, ξ] и [b, ξ] и выберем один из них, исходя из условия, чтобы функция f(x) принимала на его концах значения разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a1, b1]. По построению
f(a1) < 0, f(b1) >0.
Возьмем среднюю точку отрезка [a1, b1] ξ1= (a1+b1)/2 и опять вычислим в ней значение функции f( ξ1 ). Если f( ξ1)=0, то доказательство теоремы закончено. В противном случае f(x)≠0, снова рассмотрим два отрезка [a1, ξ], [b1, ξ] и выберем тот из них, на концах которого функция f(x) принимает значение разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a2, b2].По построению
f(a2) < 0, f(b2) >0.
Будем продолжать этот процесс. В результате либо он оборвется на некотором шаге n благодаря тому, что f( ξn)=0,либо будет продолжатьсянеограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения решен. Рассмотрим второй случай.
Неограниченное продолжение процесса дает последовательность отрезков [a, b], [a1, b1], [a2, b2],...Эти отрезки вложены друг в друга: каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:
an ≤ an+1 <bn+1 ≤bn (3)
причем
f(an) < 0, f(bn) >0.
Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:
(bn-an)= (b-a)/2n =0.
Рассмотрим левые концы отрезков {an}. Они образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность. Такая последовательность имеет предел, который мы обозначим через с1:
an = c1
Согласно лемме о переходе к пределу в неравенствах, имеем
C1 ≤ bn (4)
Теперь рассмотрим правые концы отрезков {bn}. Они образуют монотонную не возрастающую ограниченную последовательность, которая тоже имеет предел. Обозначим этот предел через с2:
bn =c2
Согласно неравенству (4) и лемме, эти пределы удовлетворяют неравенству c1 ≤ c2.
Итак, an ≤ c1 ≤ c2 ≤ bn
и, следовательно, c2 –c1 ≤ bn – an =(b-a)/2n
Таким образом, разность с2 – с1 меньше любого наперед заданного положительного числа. Это означает, что с2 – с1=0, т.е. с2 = с1=с
Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности. Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения.
Мы знаем, что f(an) ≤ 0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах имеем
f(c)= f(an) ≤ 0 (5)
Аналогично, учитывая, что f(bn) ≥ 0.,получаем
f(c)= f(bn) ≥ 0.,. (6)
Из (5) и (6) следует, что
f(c)= 0,
т.е. с – корень уравнения. Теорема доказана.
Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения. На n -м шаге процесса получаем an ≤ c.
Это двойное неравенство показывает, что число an определяет искомый корень с с недостатком, а число bn – с избытком, с ошибкой, не превышающей длину отрезка ∆n = bn – an = (b-a)/2n.При увеличении n ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=1/2. Если задана необходимая точность ε (ε>0), то чтобы ее достигнуть, достаточно сделать число шагов N, удовлетворяющее условию:
N>log2 ((b-a)/ ε).
Пример. Рассмотрим отапливаемое помещение, которое имеет наружные ограждения площадью F = 50 м2, сопротивление теплопередачи составляет R=2,5 м2 оС/Вт. В помещении установлен отопительный прибор, поверхность которого составляет А=1,5 м2, температура подающей воды tг =95 оС, а обратной tоб =70 оС.
Требуется определить температуру внутреннего воздуха tв, при температуре наружного воздуха tн = –20 оС?
Для решения поставленной задачи составим уравнение, характеризующее баланс тепловой энергии в помещении.
Потери теплоты через ограждающие конструкции могут быть определены по следующей формуле:
qт.п. =(tв – tн)F/R (7)
Поступление теплоты от нагревательных приборов может быть определено по следующей формуле:
qпр = А qном (Δtср. /70)1+n (8)
где qном – номинальный тепловой поток от отопительного прибора, Вт/м2 (qном=600 Вт/м2);
Δtср.= 0,5(tг + tоб) –tв;
n – коэффициент характеризующий теплоотдачу отопительного прибора (n=0,4).
Приравниваем формулы (7) и (8)
(tв – tн)F/R= А qном (Δtср. /70)1+n. (9)
После подстановки известных величин формула приобретет вид
(tв +20)50/2,5 =1,5•600•((82,5- tв)/70)1,4 (10)
Решение данного уравнения для определения температуры внутреннего воздуха (tв) в общим виде представляет определенные затруднения, поэтому воспользуемся методом «вилки». Для этого выполним преобразования. Перенесем все члены уравнения в левую часть
(tв +20)50/2,5 – 1,5.600((82,5- tв)/70)1,4 =0.
Предварительный анализ свидетельствует, что данная функция неразрывна и может приобретать положительные и отрицательные значения.
Определим диапазон, на котором будем искать значение корня. При значении tв =5 oC значение функции f(10)=-345,3191649. При значении tв =25 oC,значение функции f(25)=216,6546618. Можно утверждать, что на концах отрезка [10, 25] функция будет приобретать противоположные знаки, т.е. корень уравнения будет находиться на данном отрезке. Вычисление выполним в табличной форме(табл.1).
Таблица 1
N | an | bn | ξ= (a+b)/2 | f( ξn) |
17,5 | -61,30462678 | |||
17,5 | 21,25 | 78,45879455 | ||
17,5 | 21,5 | 19,5 | 13,42747243 | |
17,5 | 19,5 | 18,5 | -23,88430668 | |
18,5 | 19,5 | -5,214785699 | ||
19,5 | 19,25 | 4,109759286 | ||
19,25 | 19,125 | -0,551660239 | ||
19,125 | 19,25 | 19,1875 | 1,779262892 | |
19,125 | 19,1875 | 19,15625 | 0,613854653 | |
19,125 | 19,15625 | 19,140625 | 0,031110536 |
Результаты расчетов, связанных с девятикратным делением исходного отрезка [10, 25] пополам даны в табл.1. Они определяют корень с с точностью ε < (25-10)/29 < 0,029297.
Можно утверждать, что искомый корень уравнения принадлежит отрезку [19,125, 19,15625].
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 263 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!