Описание метода. Предположим для определенности, что функция f(x)принимает на левом конце отрезка [a, b]отрицательное значение

Предположим для определенности, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка [a, b]отрицательное значение, на правом – положительное:

f(a)<0, f(b)>0.

Возьмем среднюю точку отрезка [a, b] ξ= (a+b)/2 и вычислим в ней значение функции f(x). Если f(x)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли на отрезке [a, b] точку с= ξ, в которой наша функция обращается в нуль. В противном случае, когда f(x)≠0, поступим следующим образом: рассмотрим два отрезка [a, ξ] и [b, ξ] и выберем один из них, исходя из условия, чтобы функция f(x) принимала на его концах значения разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a₁, b₁]. По построению

f(a₁) < 0, f(b₁) >0.

Возьмем среднюю точку отрезка [a₁, b₁] ξ₁= (a₁+b₁)/2 и опять вычислим в ней значение функции f( ξ₁ ). Если f( ξ₁)=0, то доказательство теоремы закончено. В противном случае f(x)≠0, снова рассмотрим два отрезка [a₁, ξ], [b₁, ξ] и выберем тот из них, на концах которого функция f(x) принимает значение разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a₂, b₂].По построению

f(a₂) < 0, f(b₂) >0.

Будем продолжать этот процесс. В результате либо он оборвется на некотором шаге n благодаря тому, что f( ξ_n)=0,либо будет продолжатьсянеограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения решен. Рассмотрим второй случай.

Неограниченное продолжение процесса дает последовательность отрезков [a, b], [a₁, b₁], [a₂, b₂],...Эти отрезки вложены друг в друга: каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:

a_n ≤ a_n+1 <b_n+1 ≤b_n (3)

причем

f(a_n) < 0, f(b_n) >0.

Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:

(b_n-a_n)= (b-a)/2ⁿ =0.

Рассмотрим левые концы отрезков {a_n}. Они образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность. Такая последовательность имеет предел, который мы обозначим через с₁:

a_n = c₁

Согласно лемме о переходе к пределу в неравенствах, имеем

C₁ ≤ b_n (4)

Теперь рассмотрим правые концы отрезков {b_n}. Они образуют монотонную не возрастающую ограниченную последовательность, которая тоже имеет предел. Обозначим этот предел через с₂:

b_n =c₂

Согласно неравенству (4) и лемме, эти пределы удовлетворяют неравенству c₁ ≤ c₂.

Итак, a_n ≤ c₁ ≤ c₂ ≤ b_n

и, следовательно, c₂ –c₁ ≤ b_n – a_n =(b-a)/2ⁿ

Таким образом, разность с₂ – с₁ меньше любого наперед заданного положительного числа. Это означает, что с₂ – с₁=0, т.е. с₂ = с₁=с

Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности. Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения.

Мы знаем, что f(a_n) ≤ 0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах имеем

f(c)= f(a_n) ≤ 0 (5)

Аналогично, учитывая, что f(b_n) ≥ 0.,получаем

f(c)= f(b_n) ≥ 0.,. (6)

Из (5) и (6) следует, что

f(c)= 0,

т.е. с – корень уравнения. Теорема доказана.

Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения. На n -м шаге процесса получаем a_n ≤ c.

Это двойное неравенство показывает, что число a_n определяет искомый корень с с недостатком, а число b_n – с избытком, с ошибкой, не превышающей длину отрезка ∆_n = b_n – a_n = (b-a)/2ⁿ.При увеличении n ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=1/2. Если задана необходимая точность ε (ε>0), то чтобы ее достигнуть, достаточно сделать число шагов N, удовлетворяющее условию:

N>log₂ ((b-a)/ ε).

Пример. Рассмотрим отапливаемое помещение, которое имеет наружные ограждения площадью F = 50 м², сопротивление теплопередачи составляет R=2,5 м^{2 о}С/Вт. В помещении установлен отопительный прибор, поверхность которого составляет А=1,5 м², температура подающей воды t_г =95 ^оС, а обратной t_об =70 ^оС.

Требуется определить температуру внутреннего воздуха t_в, при температуре наружного воздуха t_н = –20 ^оС?

Для решения поставленной задачи составим уравнение, характеризующее баланс тепловой энергии в помещении.

Потери теплоты через ограждающие конструкции могут быть определены по следующей формуле:

q_т.п. =(t_в – t_н)F/R (7)

Поступление теплоты от нагревательных приборов может быть определено по следующей формуле:

q_пр = А q_ном (Δt_ср. /70)¹⁺ⁿ (8)

где q_ном – номинальный тепловой поток от отопительного прибора, Вт/м² (q_ном=600 Вт/м²);

Δt_ср.= 0,5(t_г + t_об) –t_в;

n – коэффициент характеризующий теплоотдачу отопительного прибора (n=0,4).

Приравниваем формулы (7) и (8)

(t_в – t_н)F/R= А q_ном (Δt_ср. /70)¹⁺ⁿ. (9)

После подстановки известных величин формула приобретет вид

(t_в +20)50/2,5 =1,5•600•((82,5- t_в)/70)^1,4 (10)

Решение данного уравнения для определения температуры внутреннего воздуха (t_в) в общим виде представляет определенные затруднения, поэтому воспользуемся методом «вилки». Для этого выполним преобразования. Перенесем все члены уравнения в левую часть

(t_в +20)50/2,5 – 1,5^.600((82,5- t_в)/70)^1,4 =0.

Предварительный анализ свидетельствует, что данная функция неразрывна и может приобретать положительные и отрицательные значения.

Определим диапазон, на котором будем искать значение корня. При значении t_в =5 ^oC значение функции f(10)=-345,3191649. При значении t_в =25 ^oC,значение функции f(25)=216,6546618. Можно утверждать, что на концах отрезка [10, 25] функция будет приобретать противоположные знаки, т.е. корень уравнения будет находиться на данном отрезке. Вычисление выполним в табличной форме(табл.1).

Таблица 1

N	an	bn	ξ= (a+b)/2	f( ξn)
			17,5	-61,30462678
	17,5		21,25	78,45879455
	17,5	21,5	19,5	13,42747243
	17,5	19,5	18,5	-23,88430668
	18,5	19,5		-5,214785699
		19,5	19,25	4,109759286
		19,25	19,125	-0,551660239
	19,125	19,25	19,1875	1,779262892
	19,125	19,1875	19,15625	0,613854653
	19,125	19,15625	19,140625	0,031110536

Результаты расчетов, связанных с девятикратным делением исходного отрезка [10, 25] пополам даны в табл.1. Они определяют корень с с точностью ε < (25-10)/2⁹ < 0,029297.

Можно утверждать, что искомый корень уравнения принадлежит отрезку [19,125, 19,15625].